Recherches sur le théorème de M. Borel dans la théorie des fonctions méromorphes. (Q1441012)

Verf. hatte gezeigt, daß\ es zu jeder meromorphen Funktion \(f(x)=z\) eine Ringfolge \(\Re_n\) fester logarithmischer Breite gibt, auf der \(f\) genau seine Wachstumsordnung anstrebt, und wo die Häufigkeit aller \(z\)-Stellen schon sehr scharf durch \(T(R_n,f)\) nach beiden Seiten eingeschränkt werden kann bis auf die \(z\) aus gewissen Kugelkreisen vom Radius \(T(R_n,f)^{-1}\). Dies wird nun in der Richtung verschärft, daß\ zu jedem Ring schon ein Kreis darin angegeben werden kann, von einem Radius \(\varepsilon R_n\), wo ähnliches gilt: jeder Wert \(z\) wird dort mindestens \(N\)-mal angenommen, bis auf höchstens die \(z\), die auf der \textit{Riemann}schen Kugel innerhalb zweier Kreise eines Radius \(T(R_n,f)^{-\lambda N}\) liegen; \(N\) ist durch \(T\) ausgedrückt proportional \(\varepsilon^2 T\) : \(\log T\); auch für \(\varepsilon=\varepsilon(n)\) werden genaue Angaben gemacht. Dieses Ergebnis wird verschiedentlich spezialisiert durch Benutzung. der Freiheiten, die für \(\varepsilon\) bleiben -- und man erhält z. B. eine Verschärfung des \textit{Borel}schen Satzes über die Konvergenzexponenten der Reihe der reziproken \(z\)-Stellenbeträge in der Art der \textit{Julia}schen Sätze. Auch für Funktionen unendlicher Ordnung können solche Ergebnisse gewonnen werden, freilich weniger scharf, und ebenso für Funktionen im Einheitskreis und in Winkelräumen.