Über einige Eigenschaften bei der Werteverteilung der meromorphen Funktionen endlicher Ordnung. (Q1441021)

Ausgehend von der \textit{R. Nevanlinna}schen Theorie der meromorphen Funktionen wird gezeigt, daß\ zwei meromorphe Funktionen endlicher Ordnung, zwischen denen eine algebraische Gleichung vom Geschlecht 1 besteht, die Gestalt \(E(R(z)+\alpha \log z,\omega_1,\omega_2)\) besitzen. Hier bedeutet \(E\) eine elliptische Funktion mit den Perioden \(2\omega_1,2\omega_2,R(z)\) eine rationale Funktion und ist \(\alpha=\frac{m \omega_1+n \omega_2}{\pi i}\) mit ganzen \(m\) und \(n\). Dies Ergebnis wird dann auf die Theorie der multiplen Stellen angewendet. Eine Stelle \(a\) heiß\ t dabei vom Gewicht 1, wenn \(f(z)-a=0\) in der Umgebung von \(z=\infty\) nicht verschwindet. Sie heiß\ t vom Gewicht \(\frac{p}{p+1}\), wenn \(f(z)-a=0\) in der Umgebung von \(z=\infty\) nur Nullstellen von der Ordnung \(p+1\) mindestens besitzt. Insbesondere werden die meromorphen Funktionen endlicher Ordnung aufgestellt, bei denen die Summe der Gewichte den Maximalwert 2 besitzt. Sie sind elliptische Funktionen von \(R(\root k\of{z})+\alpha \log z\), \(k=2,3,4,5,6\) oder lineare Funktionen von \(\cos (R(\sqrt z) + \alpha \log z)\), oder von \(z^a e^{R(z)}\). Die Ordnung einer solchen Funktion muß\ ein Vielfaches von sein. Ähnliche Beziehungen zur Ordnung werden noch für einige andere Annahmen über die Ausnahmewerte angegeben. (IV 6 D.)