On the behavior of integral functions in distant portions of the plane. (Q1441029)

1. \(g(n)\) sei eine Funktion des ganzen positiven \(n\), die für groß\ e \(n\) in eine konvergente oder asymptotische Reihe \[ g(n)=c_0+\frac{c_1}{n+k}+\frac{c_2}{(n+k)(n+k+1)} +\cdots +\frac{c_p+\delta(p,n)}{(n+k)\ldots (n+k+p-1)} \] entwickelt werden kann, wo \(c_0,c_1,\dots\) Konstanten sind, und wo \[ \lim_{n \to \infty} \delta(p,n)=0 \] ist. Dann gilt für die Funktion \[ f(z)=\sum_0^\infty \frac{g(n)}{\Gamma(n+k)},\;k=\text{feste Zahl}, \] für groß\ e \(z\) aus \(\Re(z)>0\) eine asymptotische Darstellung \[ f(z)\sim e^z z^{1-k} \left( c_0+\frac{c_1}{z}+\cdots \right). \] 2. \(g(n)\) möge als Funktion \(g(w)\) der komplexen Variablen \(w\) angesehen werden können; \(g(w)\) sei in der endlichen Ebene regulär und bleibe für alle \(w\) von genügend großem absolutem Betrage des Realteils beschränkt. Dann hat \(f(z)\) für alle \(z\) mit genügend großem negativem Realteil eine asymptotische Darstellung \[ f(z)\sim -\frac{g(-1)}{\Gamma(k-1)} \frac 1z-\frac{g(-z)}{\Gamma(k-2)} \frac{1}{z^2}-\cdots. \]