On certain functions represented by Dirichlet's series. (Q1441084)

Verf. betrachtet \textit{Dirichlet}sche Reihen von folgender Form: \(F(h)\) sei ein ganzwertiges Polynom in \(h\) mit \(F(0)=1\). Ist für ein ganzes \(n>1\) \[ n=p_1^{h_1} \dots p_m^{h_m}\;(h_\mu \geqq 1 \;\text{und ganz}) \] die kanonische Primzahlzerlegung von \(n\), so sei \[ g(n)=F(h_1) \dots F(h_m) \] und \[ (*)\quad f(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{g(n)}{n^s} \;(s=\sigma+it). \] Diese Dirichletschen Reihen teilt Verf. in folgende zwei Klassen ein: (1) Solche, die eine meromorphe Funktion darstellen. (2) Solche, die über die \(t\)Achse hinaus nicht fortsetzbare, in der Halbebene \(\sigma>0\) keine wesentliche Singularität besitzende Funktionen darstellen. Verf. gibt ein allgemeines Kriterium dafür an, ob eine Reihe von der Form \((\ast)\) vom Typus (1) oder (2) ist. Ferner studiert er den folgenden Spezialfall: Es seien \(m\) und \(l\) positive ganze Zahlen und \[ F_{l,m}(h)=\left( \frac{(h+m-1)!}{h!(m-1)!} \right)^l; \] dann wird \[ (**)\quad f_{l,m}(s)=\sum_{n-1}^\infty \frac{[d_m(n)]^l}{n^s}. \] Dabei ist \[ d_m(n)=\sum 1, \] wo die Summe über alle Systeme natürlicher Zahlen \(d_1,d_2,\dots,d_m\) mit \[ d_1 \cdots d_2 \dots d_m=n \] zu erstrecken ist. Es ergibt sich, daß\ außer den ``trivialen'' Fällen \(m=l=1\) und \(m=l=2\), in denen \(f_{l,m}(s)\) sich in einfacher Weise durch Potenzen von \(\zeta(s)\) ausdrückt, die Reihen \((\ast \ast)\) stets vom Typus (2) sind.