On the remainder in the formula for \(N(T)\), the number of zeros of \(\zeta (s)\) in the strip \(0<t<T\). (Q1441090)

Schreibt man die \textit{Riemann -- v. Mangoldt}sche Formel für die Anzahl der nichttrivialen Nullstellen der \(\zeta\)-Funktion in der Gestalt \[ N(T)=\frac{1}{2\pi} T \log T-\frac{1+\log 2\pi}{2\pi} T+\frac 78+S(T)+O \left( \frac 1T \right), \] so ist darin \[ \pi S(T)=\text{arg} \zeta(\frac 12+iT), \] wobei der Wert des Argumentes von \(\zeta(\frac 12+iT)\) durch stetige Fortsetzung längs des Streckenzuges \(2,2+iT,\frac 12+iT\) bestimmt ist, wenn von dem Werte Null ausgegangen wird. Über diese Funktion ist \[ S(T)=O (\log T) \] bekannt. Unter der Annahme der Riemannschen Vermutung hat \textit{Littlewood} sogar bewiesen \[ S(T)=O \left( \frac{\log T}{\log \log T} \right) \] und \[ S_1(T)=\int_0^t S(t)dt+c_1=O \left( \frac{\log T}{(\log \log T)^2} \right) \] mit einer gewissen Konstanten \(c_1\). Verf. ergänzt in der vorliegenden Arbeit Untersuchungen von \textit{Littlewood} über das durchschnittliche Wachstum der Funktionen \(S(T)\) und \(S_1(T)\), indem er beweist: \[ \frac 1T \int_0^T | S(t)|^2 dt>A \log \log T \;(T>T_0) \] und \[ C-\frac{A}{\log^2 T} <\frac 1T \int_0^T | S_(t)|^2 dt<C+\frac{B}{\log \log T} \;(T>T_0). \] Die Abschätzung nach unten wird beidemal vorgenommen in einer Weise, die an die Herleitung der Besselschen Ungleichung in der Theorie der Fourierreihen erinnert, indem der Verf. ausgeht von \[ 0 \leqq \int_0^T \left\{ S(t)+\frac 1\pi \sum_{n=2}^N \frac{\Lambda_1(n)}{\sqrt n} \sin(t \log n) \right\}^2 dt \] bzw. \[ 0 \leqq \int_0^T \left\{ S(t)-\frac 1\pi \sum_{n=2}^N \frac{\Lambda_2(n)}{n} \cos(t \log n) \right\}^2 dt \] und die beim Ausquadrieren der Integranden entstehenden einzelnen Integrale mit Hilfe einiger Hilfssätze entwickelt und abschätzt. In den Formeln ist \[ \Lambda_r(n)=\frac{\Lambda(n)}{(\log n)^r} \] gesetzt. In der ganzen Arbeit wird übrigens die Gültigkeit der Riemannschen Vermutung angenommen. (III 8.)