Über einen Satz von Mellin. (Q1441093)

\textit{Hj. Mellin} bewies, daß\ die Reihe \[ f(s)=\sum_1^\infty \dots \sum_1^\infty f(n_1,\dots,n_p)^{-s}, \] wo \(f(x_1,\dots,x_p)\) ein Polynom in \(p\) Veränderlichen mit Koeffizienten von positivem Realteil ist, sich in die ganze \(s\)-Ebene als eine meromorphe Funktion fortsetzen läß\ t die allein Pole auf der reellen Achse besitzt. Verf. gibt einen neuen ganz elementaren Beweis für diesen Satz, unter der Voraussetzung, daß\ weder \(f(x_1,\dots,x_p)\) noch der höchste homogene Bestandteil hiervon im Gebiet \[ x_1>0,\;x_2>0,\dots,x_p>0 \] verschwinde. Der Beweis besteht im wesentlichen aus zwei Schritten: (1) Verf. beweist mit ganz einfachen Mitteln und Abschätzungen den folgenden Satz: Das Integral \[ J(s)=\int_0^\infty \dots \int_0^\infty g(x)f(x)^{-s} dx_1 \dots dx_p, \] wobei \(g(x)\) und \(f(x)\) zwei Polynome der Variablen \(x_1,\dots,x_p\) bedeuten mit beliebigem Grade \(m\) und \(n\), und \(f(x)\) die obige Bedingung erfüllt, konvergiert in der Halbebene \[ \sigma>\frac{n+p}{m} \] und stellt hier eine reguläre Funktion dar. \(J(s)\) läß\ t sich in die ganze Ebene als meromorphe Funktion fortsetzen, mit einfachen Polen höchstens an den Stellen \[ s=\frac{n+p-h}{m}\quad \left(\begin{matrix}\l\\ h=0,1,2,\dots \\s \neq 0,-1,2,\dots\end{matrix}\right) \] (2) Durch direkte Anwendung der \textit{Euler}schen Summenformel gelingt es, den obigen \textit{Mellin}schen Satz auf diesen Satz zurückzuführen.