Fastperiodische Folgen und Potenzreihen mit fastperiodischen Koeffizienten. (Q1441094)

Es wird definiert: Die Zahlenfolge \[ \dots,a_{-2},a_{-1},a_0,a_1,a_2,\dots \] soll \textit{fastperiodisch} heißen, wenn es zu jedem \(\varepsilon > 0\) eine natürliche Zahl \(l=l(\varepsilon)\) gibt derart, daß\ unter je \(l\) aufeinanderfolgenden Indices ein zu \(\varepsilon\) gehöriger \textit{Verschiebungsindex} \(t\) vorkommt, d. i. ein solcher Index, für den \(a_{\nu+t}\alpha_\nu| \leqq \varepsilon\) für \(\nu=0,\pm 1,\pm 2,\dots\) erfüllt ist. Bedeutet \[ {\mathfrak M}\{ b_\nu \}=\lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{\nu=0}^{n-1} b_\nu, \] so werden auf Grund der Tatsache, daß\ \({\mathfrak M}\{e^{i \nu \varphi}\}\) für \(\varphi \equiv 0 (\mod 2\pi)\) gleich Eins und sonst gleich Null ist, nach bekanntem Muster eine Reihe von Sätzen bewiesen, den vorbereitenden Sätzen der \textit{Bohr}schen Theorie genau analog sind; insbesondere: (1) \({\mathfrak M}\{ a_\nu e^{-i \nu \varphi}\}=0\), außer für höchstens abzählbar viele mod \(2\pi\) inkongruente \(\varphi=\Phi_1,\Phi_2,\dots\) Diese werden als Eigenwinkel (Fourierexponenten), \[ {\mathfrak M}\{ a_\nu e^{-i \nu \Phi \mu}\}=a( \Phi_\mu ) \] als Eigenwerte (Fourierkoeffizienten) der Folge \(a_\nu\) bezeichnet. \[ (2)\quad \sum_{\mu=1}^\infty | a(\Phi_\mu)|^2 \leqq {\mathfrak M}\{| a_\nu|^2\} \;(\text{Besselsche Ungleichung}). \] Die Frage, ob hier etwa stets das Gleichheitszeichen gilt (Parsevalsche Gleichung), bleibt offen. Mit diesen Mitteln gelingt es bereits, den Satz von \textit{Hecke} (1921; F. d. M. 48, 184-185) über die Nichtfortsetzbarkeit der Potenzreihe \(\sum_{\mu=0}^\infty R(\nu \alpha)z^\nu\), wo \(\alpha\) irrational ist und \(R(x)\) den kleinsten nichtnegativen Rest von \(x \mod 1\) bedeutet, zu verallgemeinern. An die Stelle der reinperiodischen Funktion \(R(x)\) setzt Verf. eine zunächst beliebige fastperiodische Funktion \(f(x)\). Bei beliebiger Wahl von \(x_0\) und \(\omega\) bilden dann die Größen \(f(x_0+\nu \omega)\) fastperiodische Folgen, und wenn sich \(\omega\) so wählen läßt, daß\ die Fourierexponenten von \(f(x)\) mod \(2\pi\) überall dicht liegen, ist \[ F(z)=\sum_{\nu=0}^\infty f(x_0+\nu \omega)z^\nu \] nicht über den Einheitskreis hinaus fortsetzbar. (IV 3 D.)