Sur les fonctions algébroïdes quotient de deux algébroïdes bornées. (Q1441097)

Unter einer algebroiden Funktion versteht man die Lösung einer Gleichung der Gestalt \[ f_0(z)u^n+f_1(z)u^{n-1}+\cdots +f_n(z)=0, \] wo die \(f_i(z)\) ganze Funktionen sind Sie umfassen die meromorphen Funktionen für \(n = 1\) und die algebraischen für \(f_i(z)\)=Polynom. Ist \(f_0(z)\equiv 1\), so spricht man von einer ganzen algebroiden Funktion. Für die Zwecke dieser Note genügt es, die \(f_i(z)\) im Einheitskreis als regulär vorauszusetzen. Es hat sich gezeigt, daß\ das Problem der Werteverteilung einer algebroiden Funktion im allgemeinen Fall \(n>1\) dem Spezialfall \(n = 1\) der meromorphen Funktionen analoge Methoden und Ergebnisse zuläßt; insbesondere ist die \textit{Nevanlinna}sche Theorie der meromorphen Funktionen ohne wesentliche Änderungen übertragbar (wenngleich noch nicht völlig durchgeführt). Verf. überträgt in dieser Note die \textit{Nevanlinna}schen Sätze über meromorphe Funktionen, die als Quotienten zweier beschränkter Funktionen im Einheitskreise darstellbar sind, auf algebroide Funktionen. Eine ganze Algebroide ist im Einheitskreis als Quotient zweier dort beschränkter Algebroiden dann und nur dann darstellbar, wenn schon die \(f_i(z)\) Quotienten zweier dort beschränkter Funktionen sind wofür man nach \textit{Nevanlinna} eine notwendige und hinreichende Mittelwertbedingung kennt: es muß \[ \int_0^{2\pi} \overset{+}{\log} | f(re^{i \varphi})| d \varphi<M \] für alle \(r\) gelten. Ähnliches, falls die Algebroide nicht mehr ganz angenommen wird. Auch das \textit{Fatou-Riesz}sche Theorem, wonach bei radialer Annäherung an den Rend des Einheitskreises für fast alle Radien Grenzwerte existieren, ist für derartige algebroide Funktionen ebenso gültig wie für beschränkte Funktionen. (IV 6 C.)