Aufgabe Nr. 24 (gestellt in Jahresbericht D. M. V. 34 (1925), 97). Lösung von N. Obreschkoff. (Q1441114)

Die Aufgabe lautet: Es seien \(\lambda_1<\lambda_2<\dots<\lambda_l\) reelle und \(m_1,m_2,\dots,m_l\) natürliche Zahlen. Man setze \(m_1+m_2+\cdots+m_l=n\) und bezeichne die Funktionen \[ \begin{matrix} e^{\lambda_1z},ze^{\lambda_1z},\dots, z^{m_1-1}e^{\lambda_1z},\\ e^{\lambda_2z},ze^{\lambda_2z},\dots, z^{m_2-1}e^{\lambda_2z},\\ \dotfill \\ e^{\lambda_lz},ze^{\lambda_lz},\dots, z^{m_l-1}e^{\lambda_lz},\end{matrix} \] der Reihe nach mit \(f_1(z),f_2(z),\dots,f_n(z)\) sowie die Anzahl der Nullstellen der Funktion \(c_1f_1(z)+c_2f_2(z)+\cdots+c_nf_n(z)\) in dem horizontalen Streifen \(\alpha \leqq {\mathfrak I}(z) \leqq \beta\) mit \(N\). Sind die Konstanten \(c_1,c_2,\dots,c_n\) der Bedingung \[ | c_1|+| c_2|+\cdots +| c_{m_1}|>0,\;| c_{nm_l+1}|+\cdots +| c_{n-1}|+| c_n|>0 \] unterworfen, so ist \[ \frac{(\lambda_l-\lambda_1)(\beta-\alpha)}{2\pi}-n+1 \leqq N \leqq \frac{(\lambda_l-\lambda_1)(\beta-\alpha)}{2\pi}+n-1. \]