Über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. (Q1441120)

Für den von \textit{Koebe} und \textit{Bieberbach} bewiesenen Satz, welcher besagt, daß\ bei einer schlichten Abbildung des Einheitskreises durch eine in ihm reguläre Funktion \[ f(z)=z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots \] der Bildbereich stets den Kreis \(| z|<\frac 14\) enthält, wird folgende leicht zu erhaltende Verschärfung gegeben Wird der Einheitskreis durch eine derartige Funktion schlicht abgebildet, so enthält der Bildbereich stets den Kreis mit dem Mittelpunkt \(\frac{\overline{a}2}{4-| a_2|^2}\) und dem Radius \(\frac{2}{4-| a_2|^2}\). Der Beweis benutzt, daß\ für eine solche Funktion bekanntlich \(| a_2|\leqq 2\) ist. Legt man die weitere Abschätzung \(| a_3| \leqq 3\) zugrunde, die man \textit{K. Löwner} verdankt, so ergibt sich der weitere Satz: Bei der genannten Abbildung enthält der Bildbereich stets ein Gebiet, das aus dem Äußern einer bestimmten, den Nullpunkt im Innern enthaltenden hyperbolischen Cassinischen Kurve durch Spiegelung am Einheitskreis entsteht. Diese Cassinische Kurve hat das charakteristische Produkt 3, die Exzentrizität \(|\sqrt{| a_2^2a_3|}|\), den Mittelpunkt \(z=-\overline{a}_2\) und eine groß\ e Achse, die gegen die Halbachse des positiv Reellen um den zwischen \(-\frac \pi 2\) und \(+\frac \pi 2\) gelegenen, durch die Gleichungen \[ \cos 2\alpha=\frac{R(a_2^2-a_3)}{| a_2^2-a_3|},\;\sin 2\alpha=\frac{J(a_2^2-a_3)}{| a_2^2-a_3|} \] bestimmten Winkel \(-\alpha\) gedreht ist. (Vgl. auch die Bemerkungen von \textit{E. Landau} zu der vorliegenden Arbeit in M. Z. 30 (1929), 635-638; F. d. M. \(55_{\text{I}}\)).