Sur quelques polynomes aux propriétés extrémales. (Q1441139)

Neue Methode zur Lösung einiger Aufgaben über Extreme von Polynomen mit komplexen Koeffizienten, und zwar soll das Polynom auf einem Kreise der Ebene der komplexen Zahlen gewisse extremale Eigenschaften besitzen. Aufgabe (1): Unter allen Polynomen \(\psi_{2n}(x)\) vom Grade \(2n\), die die Bedingungen \[ \psi_{2n}(\pm 1)=0,\;|\psi_{2n}(z) |\leqq 1\;\text{für}\;| z|=1 \] erfüllen, dasjenige zu bestimmen, welches das größte Maximum des absoluten Betrages von \(\frac{\psi_{2n}(z)}{z^2-1}\) auf dem Kreise \(| z|=1\) annimmt. Die Lösung ist: \[ w_{2n}(z)=\varepsilon \frac{z^{2n}-1}{2},\;|\varepsilon|=1. \] Aufgabe (2): Unter allen Polynomen \(\psi_n(z)\) des Grades \(n\) dasjenige zu finden, für welches der absolute Betrag von \(\frac{\psi_n(z)}{z-1}\) für \(| z|=1\) das größte Maximum erreicht. Lösung: \[ w_n(z)=\varepsilon \frac{z^n-1}{2},\;|\varepsilon|=1. \] Aufgabe (3): Das Polynom \(Az^n+b_1z^{n-1}+\cdots +b_{n-1}z+B\) mit vorgeschriebenem \(A\) und \(B\) so zu bestimmen, daß\ sein maximaler absoluter Betrag auf \(| z|=1\) ein Minimum ist. Lösung: \[ \beta_n(z)=Az^n+B. \]