Talen \({\alpha^\varphi - \beta^\varphi \over 2}\) och \({\alpha^\varphi + \beta^\varphi \over 2}\) och deras relationer. I, II, III. (Q1441161)

Es handelt sich um die beiden Ausdrücke \[ U_\varphi=\frac{\alpha^\varphi-\beta^\varphi}{2},\;V_\varphi=\frac{\alpha^\varphi+\beta^\varphi}{2}, \] worin \(\alpha,\beta,\varphi\) beliebige (reelle oder komplexe) Zahlen mit der einzigen Einschränkung \(\alpha \neq 0\) und \(\beta \neq 0\) bedeuten. Nach Herleitung der wichtigsten und allgemeinsten Beziehungen zwischen \(U_\varphi\) und \(V_\varphi\), und zwar zunächst für beliebige Werte \(\varphi\) und dann für Werte \(m \varphi\), worin \(m\) eine positive ganze Zahl ist, geht Verf. zur Anwendung der gewonnenen Formeln auf spezielle Fälle, besonders zahlentheoretische, über. Unter gewissen Annahmen über \(\alpha\) und \(\beta\) werden Serien rekurrenter Zahlen zweiter Ordnung erhalten, und es wird eine Tabelle solcher Zahlen gegeben. Dann folgen einige interessante Sitze über die Teilbarkeit solcher Zahlen und zum Schluß\ einige Beispiele über die Anwendbarkeit derselben zur Berechnung von Quadratwurzeln und dergl. (III 6.)