Über eine von Abel untersuchte Transzendente und eine merkwürdige Funktionalbeziehung. (Q1441176)

Die für \(| x|<1\) durch \[ \psi(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \] erklärte Funktion wird vermöge der Integraldarstellung \[ \psi(x)=\int_0^x \frac{\log(1-x)}{x} dx \] analytisch fortgesetzt. Ihre Zweige sind in der längs \((0,-\infty)\) und \((1,+\infty)\) aufgeschnittenen \(x\)-Ebene regulär und durch \[ \psi_0(x)+2k \pi i \log x+4k' \pi^2 \;(k,k'=0,\pm 1,\pm 2,\dots) \] gegeben. (\(\psi_0(x)\) ist der in \(0<\text{arc}(x-1)<2\pi\), insbesondere für \(x=0\) reguläre Ausgangszweig.) Es erweist sich sonach \[ F(z)=e^{\frac{\pi i z^2}{2}} e^{\frac{1}{2\pi i}} \psi(1-2e^{-2\pi i z}) \] als eindeutige, meromorphe Funktion von \(z\). Diese genügt der Differenzengleichung \(F(z+1)=-2\sin \pi z F(z)\) und der Differentialgleichung \(F'(z)=\pi z \text{cotg} \pi z F(z)\) und ist, wie Verf. früher (1887; F. d. M. 19, 378-379) gezeigt hat, als unendliches Produkt \[ e^z \prod_{n=-\infty}^{+\infty}{}' \left( 1-\frac{z}{\mu} \right)^\nu e^{z+\frac{z^2}{2\nu}} \] darstellbar. Aus einer von \textit{Abel} für \(\Psi(x)\) aufgestellten Funktionalgleichung in zwei Veränderlichen wird die für alle diejenigen Stellen des Gebildes \[ 1-e^{-2\pi i \xi}-e^{-2\pi i eta}+e^{-2\pi \zeta}=0 \] gültige Relation \[ F(\zeta-\xi-\eta)=e^{\frac{\pi i}{2}(\xi^2+\eta^2-2 \xi \eta-\zeta^2)} \frac{F(\zeta-\xi)F(\zeta-\eta)}{F(\xi)F(\eta)} \] abgeleitet, für die die auftretenden \(F\)-Werte alle endlich und \(F(\xi),F(\eta) \neq 0\) sind.