Products of generalized hypergeometric series. (Q1441180)

Betrachtet werden die allgemeinen hypergeometrischen Reihen vom Typ \[ _pF_q(\alpha_1,\dots,\alpha_p;\varrho_1,\dots,\varrho_q;x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha_1)_n \dots (\alpha_p)_n}{(\varrho_1)_n \dots (\varrho_q)_n} \frac{x^n}{n!}, \] \[ (\alpha)_n=\alpha(\alpha+1)\dots +(\alpha+n-1). \] Abgesehen von den Fällen, wo sie abbrechen oder sinnlos sind, konvergieren sie bekanntlich nur für \(q \geqq p-1\), und zwar für \(q > p-1\) beständig; falls \(q=p-1\), nur für \(| x|<1\) absolut (vgl. \textit{Pochhammer}, 1891; F. d. M. 23, 338). In dem Produkt \[ _pF_q(\alpha_1,\dots,\alpha_p;\varrho_1,\dots,\varrho_q;x)\cdot _rF_s(\beta_1,\dots,\beta_r; \sigma_1,\dots,\sigma_s;cx)=\sum_{n=0}^\infty A_nx^n \] ist nun \(A_n\) das Produkt aus dem Koeffizienten einer gewissen hypergeometrischen Reihe und einer (abbrechenden) hypergeometrischen Reihe vom letzten Argument \(\pm c\). Diese letztere Reihe läß\ t sich in manchen Fällen durch Formeln von \textit{Gauß\, Kummer} u. a. mittels \(\varGamma\)Funktionen derart in geschlossener Form darstellen, daß\ das gesamte \(F\)Produkt sich wieder als hypergeometrische Reihe schreiben läßt. In ähnlicher Weise lassen sich manche Produkte der Form \[ _qF_q(x) {}_r F_s(cx^\lambda) \;\text{und}\;(1-x)^p {}_r F_s \left( \frac{kx^\lambda}{(1-x)^\mu} \right) \;(\lambda,\mu \;\text{ganz}) \] bei passenden Werten der Parameter vereinfachen.