Über die hypergeometrischen Differentialsysteme. (Q1441182)

Die Pochhammersche Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung [\textit{L. Pochhammer}, J. Reine Angew. Math. 108, 50--87 (1891; JFM 23.0337.02)], die durch Doppelschleifenintegrale der Form \[ \int_L v(z-x)^\xi \,dz \quad (v=\prod_{\nu=1}^n (z-a_\nu)^{r_\nu}) \] integriert werden kann, wird hier ersetzt durch ein Differentialsystem \[ (x-a_k) \frac{dy_k}{dx}=\sum_{\lambda=1}^n y_\lambda \alpha_{\lambda k} \] mit konstanten \(\alpha_{\lambda k}\) (die im gewöhnlichen, Gaußschen Fall \(n=2\) beliebig angenommen werden können). Ein Fundamentalsystem wird \[ p_k \int_{L_j} (z-a_k)^{-1} v(z-x)^\xi dz \;(j=1,\dots,n). \] Das adjungierte System hat ein Fundamentalsystem von Lösungen der Form \[ C_k(x-a_k) \int_L (z-a_k)^{-1} v^{-1}(z-x)^{-\xi-1}dz. \] Die Monodromiegruppe ändert sich bei Verschiebung der \(r_\nu,\xi\) um ganze Zahlen nicht; alle so erzeugten Systeme gehören daher zur gleichen Riemannschen Klasse. Ferner ist die Gruppe von den als Parameter aufgefaßten \(a_\nu\) unabhängig; deshalb genügen in Abhängigkeit von den \(a_\nu\) (1) nach \textit{Fuchs} die \(y_k\) einem linearen, total integrierbaren partiellen Differentialsystem; (2) nach \textit{Schlesinger} die \(\alpha_{\lambda k}\) einem partiellen Differentialsystem zweiten Grades; dieses wird (in durch Transformation der \(y_k\) vereinfachter Form) aufgestellt und die dem Ausgangssystem dann entsprechende Lösung explizit angegeben.