Heaviside's formulae for alternating currents in cylindrical wires. (Q1441189)

\textit{Heaviside} hat ohne Beweis Lösungen für gewisse Probleme, wie sie bei Wechselströmen in zylindrischen Drähten vorkommen, mit Hilfe von \textit{Bessel}schen Funktionen gegeben. \textit{Lord Kelvin} hat in Unkenntnis der \textit{Heaviside}schen Ergebnisse dieselben Aufgaben vermittels der von ihm sogenannten ber- und bei-Funktionen gelöst. \textit{Bromwich} gibt nun Beweise der \textit{Heaviside}schen Formeln. Ein zylindrischer Draht vom Halbmesser \(a\) habe den spezifischen Widerstand \(\sigma\) und die Permeabilität \(\mu\). Dann ergibt sich der effektive Widerstand symbolisch zu \[ W=\frac{\sigma}{\pi \alpha^2}\cdot \frac{qa I_0(qa)}{2I_1(qa)}, \] wo die \(I\) \textit{Bessel}sche Funktionen sind und \(q^2=\frac{4\pi \mu p}{\sigma}\) ist, während \(p\) das Symbol für \(\frac{\partial}{\partial t}\) bedeutet. Für einen Wechselstrom von der Frequenz \(\frac{n}{2\pi}\), also von der Form \(Ae^{nit}\), ist \(\frac{\partial}{\partial t}=p\) gleichbedeutend mit \(ni=ne^{\frac{i \pi}{2}}\), also \[ q=\sqrt{4\pi n \mu/\sigma} e^{i \frac \pi 4}=xe^{i \frac \pi 4}. \] Um \(W\) bequem berechnen zu können, wird \[ I_0(qr)=u,\;v=\overline{u},\;x^2=4z \] gesetzt und mit Hilfe der Differentialgleichung für \(I_0\) nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten die Reihenentwicklung für folgende Funktionen hergestellt: \[ \begin{aligned} uv&=P_1(z),\;\frac i2(uv'-u'v)=zP_2(z),\\ u'v'&=z^2P_3(z),\;uv'+u'v=z^2P_4(z).\end{aligned} \] Wird dann \(W\) so zerlegt: \(W=R'+L'p\) (\(R'\) und \(L'\) sind Hochfrequenz-Widerstand und -Selbstinduktion) und \(\frac{\sigma}{\pi a^2}=R\) gesetzt, so ergibt sich: \[ \frac{R'}{R}=\frac{P_2}{P_3},\;\frac{L'n}{R}=\frac{\frac 12 z P_4}{P_3}. \] Das sind die Formeln von \textit{Heaviside}. Diejenigen von \textit{Lord Kelvin} kommen darauf hinaus, daß\ \(u=M+iN,v=M-iN\) gesetzt und \(\frac{R'}{R}\) bzw. \(\frac{L'n}{R}\) durch \(M\) und \(N\) ausgedrückt werden. Benutzt man für \(I_0\) die bekannte, für groß\ e Argumente gültige asymptotische Entwicklung, so erhält man eine asymptotische Darstellung für \(\frac{R}{R'}\) und \(\frac{L'n}{R}\), deren erste Glieder auch von \textit{Heaviside} angegeben worden sind. Analoge Betrachtungen führen bei dem Problem der einen Kern umgebenden Spule zu Beweisen von \textit{Heaviside}schen Resultaten. Zum Schluß\ wird noch eine asymptotische Entwicklung für \(u=\frac{I_0(x)}{I_1(x)}\) abgeleitet, indem für \(u\) eine Differentialgleichung aufgestellt und diese nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten integriert wird. (IV 7, VII 1.)