On the Cesàro-summability of Laplace's series of hyperspherical functions. (Q1441190)

Es sei \(p \geqq 3\) ganz. Die Koeffizienten \(L_n(\cos \gamma)\) in der für \(| z|<1\) gültigen Entwicklung \[ \frac{1}{(1-2z \cos \gamma+z^2)^{\frac{p-2}{2}}}=\sum_{n=0}^\infty L_n(\cos \gamma)z^n \] sind bekanntlich für \(p=3\) die \textit{Legendre}schen bzw. für \(p>3\) die hypersphärischen Polynome, und die formale Reihe \[ f(P') \sim \frac{\Gamma \left( 1+\frac p2 \right)}{p \pi^{\frac p2}} \sum_{n=0}^\infty \frac{p+2n-2}{p-2} \int_S L_n(\cos \gamma)f(P) d \omega \] ist die der auf der (Hyper-)Sphäre \(x_1^2+\cdots+x_p^2=1\) definierten Funktion \(f(P')\) zugeordnete \textit{Laplace}sche Reihe. \(S\) ist dabei die Oberfläche, \(d \omega\) das Oberflächenelement und \(\cos \gamma=x_1x_1' +\cdots +x_px_p'\) der cosinus des ``Winkels'' zwischen dem festen Strahl \(\overline{OP'}\) und dem variablen \(\overline{OP}\), wo \(O\) den Koordinatenursprung bezeichnet. Es handelt sich um die \textit{Cesàro}-Summierung dieser Reihe und zwar für \(p > 3\). Den klassischen Fall \(p = 3\) kennt man seit \textit{Gronwall} sehr genau. Mit dessen Methoden und unter wesentlicher Benutzung der Ergebnisse von \textit{Kogbetliantz} über die zugehörigen \textit{Lebesgue}schen Konstanten erhält man hier: I. \(f(P)\) sei auf \(S\) absolut integrierbar. In jedem Stetigkeitspunkte \(P'\) ist die Laplacesche Reihe \((C,p-2)\)-summierbar zum Werte \(f(P')\) und zwar gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Stetigkeitsbereich von \(f\). II. \(f(P)\) sei auf \(S\) absolut integrierbar. In jedem Stetigkeitspunkte \(P'\) ist die Laplacesche Reihe sogar \(\left( C,\frac{p-2}{2}+\varepsilon \right)\)summierbar \((\varepsilon>0)\) zum Werte \(f(P')\), wenn \[ \int_{\overline{S}} \frac{| f(P)|}{(\sin \gamma)^{\frac{p-2}{2}}} d \omega \] endlich existiert, wo \(\overline{S}\) eine Kreisumgebung des Gegenpunktes \(\overline{P}'\) von \(P'\) auf der Sphäre bedeutet. Die Laplacesche Reihe einer stetigen Funktion \(f(P)\) ist überall gleichmäßig \(\left(C,\frac{p-2}{2}+\varepsilon \right)\)-summierbar zum Werte \(f(P)\). Man kann übrigens diese Sätze aus den Ergebnissen von \textit{Kogbetliantz}, die sich auf die Legendresche Reihe beziehen, leicht herleiten. Endlich wird zur Erläuterung von Satz I (nach Kogbetliantz) ein Beispiel einer absolut integrierbaren Funktion \(f(P)\) gegeben, deren \textit{Laplace}sche Reihe an einer Stetigkeitsstelle nicht \((C,k)\)-summierbar ist, wenn \(k<p-2\) wird. (IV 3 D.)