Elliptische Funktionen. (Q1441202)

Über die Tendenz und den Aufbau des vorliegenden, von den üblichen Lehrbuchdarstellungen der Theorie der elliptischen Funktionen durchaus abweichenden Werkes äußern sich die Verf. selbst im Vorwort wie folgt: ``Vorliegendes Buch will nicht ein Kompendium der elliptischen Funktionen sein - der Leser findet solche Werke in der Literaturübersicht am Schlusse --, sondern es will den Studierenden und Fachmann die elliptischen Funktionen als Glied eines großen Organismus verstehen lehren, der mit den einfachsten analytischen Funktionen, den rationalen beginnt sich zu den elliptischalgebraischen und algebraischen entfaltet und schließlich zu den \textit{Riemann}schen Funktionensystemen (den Lösungssystemen linearer homogener Differentialgleichungen vom Fuelsschen Typus) emporwächst. Diesen Organismus - nach der Auffassung \textit{B. Riemann}s und \textit{F. Kleins} -- beherrscht ein einheitliches Gesetz, dessen Struktur zum erstenmal und am einfachsten an den elliptisch-algebraischen Funktionen sichtbar wird um nur eines zu nennen, tritt -- ähnlich wie in der Geometrie -- ein Dualitätsprinzip in Erscheinung, welches jedem Satz über Funktionen einen solchen über Differentiale an die Seite stellt.'' ``Dem gekennzeichneten Standpunkt entspricht die Methode: nicht mit ad hoc konstruierten Hilfsmitteln und Rechnungen Sätze und Formeln aufzustellen sondern aus den Grundeigenschaften der elliptischen Funktionen, und zwar 1. der einfachsten allgemeinsten, daß\ sie eine lineare Mannigfaltigkeit (Klasse) bilden, 2. der spezielleren, daß\ sie einen algebraischen Körper bilden und 3. der speziellsten, daß\ sie vom Geschlecht eins sind, die Ergebnisse organisch und genetisch zu entwickeln. Ähnlich wie in der Elementargeometrie die Axiomatik ordnend und sichtend eingreift, erhält hier jeder Satz seine bestimmte Stellung; es ist überraschend, ein wie großer Teil der bekannten Lehrsätze u. a. gar nicht an die elliptischen Funktionen gebunden ist, sondern bereits aus der allgemeinen. Eigenschaft 1 folgt.'' Diese Absicht der Verf., in dem besonderen Fall der elliptischen Funktionen den allgemeinsten Fall erkennen zu lassen, bringt es mit sich, daß\ Beweismethoden und Beweisanordnungen benutzt werden, die unnötig verwickelt wären, wenn man nur den Sonderfall im Auge hätte. Über den Inhalt des Buches sei kurz folgendes gesagt: In Kap. I (Grundlagen) werden die elliptischen Funktionen als eindeutige, bis auf Pole reguläre Funktionen auf einer zweiblättrigen \textit{Riemann}schen Fläche mit vier Verzweigungspunkten eingeführt, und es wird gezeigt, daß\ sie sich auch als eine spezielle Klasse von \textit{Riemann}schen Funktionenpaaren auffassen lassen. Neben einer Funktionenklasse ist auch stets die ``komplementare Klasse von Bedeutung, eine der Besonderheiten der Theorie der elliptischen Funktionen liegt nun darin, daß\ diese beiden Klassen identisch sind. Trotzdem behalten die Verf, um die Struktur der Sätze nicht zu verschleiern, die Unterscheidung beider Klassen in den Bezeichnungen konsequent bei. Schließlich werden in Kap. I noch die Differentiale eingeführt. Nach diesem einleitenden Kapitel behandeln die Kap II-IV (II: Arithmetischer Teil. III: Die Elementarfunktionen. IV: Elementarfunktionen und Elementardifferentiale von zwei Veränderlichen) den arithmetischen Teil der Theorie, wobei die Dualität zwischen den Funktionen der Klasse und den Differentialen der komplementären Klasse eines der wesentlichen Momente ist. In den folgenden Kapiteln überwiegt das Transzendente. In Kap. V-VII (V: Die elliptischen Integrale. VI: Funktionen zweiter und dritter Art. VII: Das Abelsche Theorem) bildet noch die zweiblättrige Fläche den Schauplatz der Betrachtungen. Kap. VIII (Konforme Abbildung durch elliptische Funktionen und birationale Transformationen) leitet zur Betrachtung der elliptischen Funktionen und Integrale im Periodenparallelogramm (Kap. IX) über. In Kap. X wird schließlich das Periodenparallelogramm auf den Torus abgebildet; aus den elliptischen Funktionen werden dadurch Funktionen des Ringes. Das Buch weist nicht nur in der ganzen Anlage, sondern auch im Kleinen in methodischer und sachlicher Hinsicht manches Neue auf; dies gilt besonders von dem Schlußkapitel. (IV 6 E.) Besprechung: M. I. Logsdon; Bulletin A. M. S. 35 (1929), 877-879.