The behaviour of certain series associated with limiting cases of elliptic theta-functions. (Q1441211)

Betrachtet werden \[ F_1(s,\vartheta)=\sum_1^\infty e^{\pi i n^2 \vartheta}n^{-s} \] und fünf weitere ähnlich gebaute Dirichletsche Reihen \(F_j\) mit \(0<\vartheta<1\), sowie die entsprechenden sechs Potenzreihen \[ f_1(x,\vartheta)=\sum e^{\pi i n^2 \vartheta-nx}=\sum e^{\pi i n^2 \vartheta} z^n \] usw. Unter gewissen Voraussetzungen über \(\vartheta\) liegt die Konvergenzgerade der \(F_j\) nicht rechts von \(\frac 12\). Ist \(\vartheta\) quadratische Irrationalität, so sind die \(F_j\) meromorph mit nur einfachen Polen; mögliche Polstellen sind die Ecken eines Rechteckgitters. Ist \(\vartheta\) rational, so ist \(F_j\) entweder ganz oder meromorph mit einfachen Polen bei \(1,-1, -3,\dots\). Die \(f_j\) haben \(| z|=1\) zur natürlichen Grenze für irrationales \(\vartheta\), für rationales \(\vartheta\) sind sie überall regulär, ausgenommen endlich viele Pole. auf \(| z|=1\).