Zur Schmidtschen Auflösungsformel in der Theorie der Integralgleichungen. (Q1441247)

Die \textit{E. Schmidt}sche Auflösungsformel für die inhomogene lineare Integralgleichung mit stetigem symmetrischem Kern und stetigem \(f(x)\) \[ (1)\quad \psi(x)-\lambda \int_a^b K(x,y) \psi(y)dy=f(x) \] lautet bekanntlich, wenn \(\lambda\) kein Eigenwert von \(K(x,y)\) ist: \[ (2)\quad \psi(x)=f(x)+\lambda \sum_n \frac{(f,\varphi_n) \varphi_n(x)}{\lambda_n-\lambda)}. \] Dabei ist die Summe über ein vollständiges normiertes Orthogonalsystem \(\varphi_1(x),\varphi_2(x),\dots,\varphi_n(x),\dots\) mit den zugehörigen Eigenwerten \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,\dots\) zu erstrecken. Diese Formel wird von \textit{E. Schmidt} mit Hilfe des Entwicklungssatzes für eine quellenmäßig darstellbare Funktion hergeleitet. In der vorliegenden Arbeit gibt Verf. einen Beweis für (2), der nicht von dem Entwicklungssatz, sondern nur von der gleichmäßigen Konvergenz und Gültigkeit der bilinearen Entwicklung \[ \sum_n \frac{\varphi_n(x) \varphi_n(y)}{\lambda_n^3}=K_3(x,y)=\int_a^b \int_a^b K(x,t_1) K(t_1,t_2) K(t_2,y) dt_1 dt_2 \] Gebrauch macht.