La notion de continuité dans l'étude des transmutations distributives des fonctions d'une variable complexe et ses applications. I, II, III. (Q1441291)

Kap. I: \textit{Die Mannigfaltigkeiten von abstrakten Vektoren}. Ein ``Feld'' von abstrakten Vektoren ist eine Menge \(C\) von Elementen \(\xi\), für welche die Addition, die Multiplikation mit einer Zahl und der Begriff der Länge (in Zeichen \(\| \xi \|\)) definiert ist. Letzterer ergibt für das Feld eine ``Eichung''. Ist für die Länge die Dreiecksbedingung \[ \| \xi +\eta \| \leqq \| \xi \| + \| \eta \| \] erfüllt, so heiß\ t sie ``Norm'', das Feld eine ``Mannigfaltigkeit''. Wenn \[ \| \xi(n)-\xi \| \to 0 \] für \(n \to \infty\), so heiß\ t \(\xi\) der limes der \(\xi(n)\) bei der betreffenden Eichung. Eine Folge \(\xi(n)\) heiß\ t innerlich konvergent, wenn es zu jedem \(h>0\) ein \(q\) gibt, so daß\ \(\| \xi(n)-\xi(p) \|<h\) für \(n,p \geqq q\) gilt. Die Begriffe Häufungselement, Ableitung, perfekt, kompakt werden in üblicher Weise definiert. Eine Vektortransformation ordnet einem Argumentvektor \(\xi\) einen Resultatvektor \(T(\xi)\) zu. \(\frac{\| T(\xi) \|}{\| \xi \|}\) heiß\ t die ``Vergrößerung'' von \(\xi\). Eine stetige, distributive Transformation heiß\ t linear. Die obere Grenze der Vergrößerungen, die bei einer linearen Transformation vorkommen, heiß\ t der ``Stetigkeitskoeffizient'' der Transformation. Eine lineare Transformation kann evtl. durch Limesbildung fortgesetzt werden, indem man \(T(\lim \xi_n)=\lim T(\xi_n)\), falls vorhanden, setzt. Eine Familie von linearen Transformationen kann selbst als Mannigfaltigkeit aufgefaß\ t werden, indem man \[ (T+U)\xi=T(\xi)+U(\xi),\;(aT)\xi=a \cdot T(\xi) \] und \(\| T \|\) = Stetigkeitskoeffizient setzt. Kap. II: \textit{Die analytischen Funktionen als abstrakte Vektoren}. Erste Art der Eichung: Norm = obere Grenze des absoluten Betrags in dem Grundgebiet. Zweite Art der Eichung: \(t(x)\) sei eine feste, positive, in dem Grundgebiet definierte Funktion. Dann wird die Norm von \(\varphi(x)\) gleich der oberen Grenze von \(\frac{\varphi(x)}{t(x)}\) gesetzt. Unter Zugrundelegung der ersten Eichungsart ist die Familie der in einem abgeschlossenen Bereich stetigen und im Innern regulären Funktionen eine perfekte Mannigfaltigkeit. Verwendet man bei einer Eichung zweiter Art eine Funktion \(t(x)\), die in einzelnen Punkten \(\infty\) wird, so kann man auch Funktionen \(\varphi(x)\) eichen, die nicht stärker als \(t(x)\) wachsen. Sie ``gehören zu dem Wachstumstypus \(t(x)\)''. Eine Familie von Funktionen mit demselben Wachstumstypus ist eine perfekte Mannigfaltigkeit. Für die Funktionen \(1,x,x^2,\dots\) läß\ t sich nach der ersten Eichungsart die Norm in jedem beschränkten, nach der zweiten auch in einem unbeschränkten Bereich definieren, indem man eine hinreichend stark wachsende Funktion \(t(r)\) zugrunde legt. Für die Norm \(u_n\) von \(x^n \left( u_n=\text{obere Grenze von}\frac{r^n}{t(r)}\right)\) gilt dann: \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) fällt niemals und und wächst unbegrenzt mit zunehmendem \(n\); man kann den Zusammenhang zwischen \(u_n\) und \(t(r)\) durch eine einfache geometrische Konstruktion darstellen. Der Wachstumstypus \(t(r)\) läß\ t sich so bestimmen, daß\ die Normen der Funktionen \(x^n\) größer als die Glieder einer gegebenen Reihe, bzw. für unendlich viele \(n\) gleich diesen werden. Kap. III: \textit{Lineare Transmutationen}. Eine Transmutation ist eine Operation, die einer Argumentfunktion \(\varphi(x)\) eine Resultatfunktion \(T \varphi(x)\) zuordnet. Die Funktionen sollen eindeutige, analytische Funktionen einer komplexen Variablen sein. Unter Zugrundelegung einer gewissen Eichung kann man von stetigen Transmutationen sprechen. Linearität ist entsprechend dem Kap. 1 definiert. Die fundamentalen distributiven Transmutationen sind: (1) \textit{Substitution} einer gegebenen Funktion \(\sigma(x)\) an Stelle der Variablen: \[ S_{\sigma(x)} \varphi(x)=\varphi[\sigma(x)]. \] (2) \textit{Multiplikation} mit einer gegebenen Funktion \(\mu(x)\): \[ M_{\mu(x)}\varphi(x)=\varphi(x) \mu(x). \] (3) \textit{Ableitung}: \[ D^n \varphi(x)=\varphi^{(n)}(x)=\frac{n!}{2\pi i} \int_c \frac{\varphi(z)}{(z-x)^{n+1}}dz. \] Alle drei werden insbesondere auf ihre Stetigkeit untersucht. Kap. IV: Fortsetzung der linearen \textit{Transmutationen}. Man kann sich eine Transmutation so gegeben denken, daß\ einer Menge von Argumentfunktionen eine Menge von Resultatfunktionen Element für Element zugeordnet ist. Bei distributiven Transmutationen hat man Freiheit in der Wahl der Zuordnung nur hinsichtlich der linear unabhängigen Argumentfunktionen (Fundamentalsystem); diesen kann man beliebige Resultatfunktionen zuordnen. Wenn das geschehen ist, fragt es sich, auf welche Funktionenfamille man die Transmutation ausdehnen (fortsetzen) kann derart, daß\ sie stetig (also linear) wird. Das Fundamentalsystem soll \(1,x,x^2,\dots\) sein. Für die zugehörigen Resultatfunktionen soll eine Eichung zweiter Art so gewählt werden, daß\ sie sämtlich eine Norm haben. Dann kann man die Eichung der Argumentfunktionen so vornehmen, daß\ die distributive Transmutation für die Klasse der Polynome stetig ist. Von hier aus kann man die Transmutation ausdehnen auf jede Funktion, die im Sinne der vorgenommenen Eichung Grenzfunktion von Polynomen ist. -- Unter gewissen Voraussetzungen läß\ t sich die Transmutation durch eine Reihe, die nach den Ableitungen der Argumentfunktion fortschreitet, darstellen. Auch hieraus ergibt sich eine Möglichkeit der Fortsetzung der Transmutation. (IV 4.)