Das Liesche Verfahren zur Erzeugung endlicher linearer Transformationen aus ihrem Keim. (Q1441321)

Die Bestimmung der eingliedrigen Gruppe, die von der linearen homogenen infinitesimalen Transformation \(\sum a_{rs}x_s p_r\) des \(R_n\) erzeugt wird, kann bei Anwendung des Matrizenkalküls in einer höchst eleganten Form geleistet werden. Ist \(\mathfrak A\) die Matrix der \(a_{rs}\) und \(\mathfrak X\) die Matrix \[ \left(\;\begin{matrix} x_1 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ x_n & 0 & \cdots & 0 \end{matrix}\;\right), \] so handelt es sich um die Integration der Gleichung \[ d{\mathfrak X}:dt={\mathfrak AX} \] mit der Anfangsbedingung \({\mathfrak X=x}\) für \(t = 0\). Ist \[ \lambda^\nu+c_1 \lambda^{\nu-1}+\cdots+c_\nu=0 \;(\nu \leqq n) \] die reduzierte charakteristische Gleichung der Matrix \(\mathfrak A\), so erscheint die eingliedrige Gruppe in der Gestalt: \[ {\mathfrak X}=\varphi_0(t){\mathfrak x}+\varphi_1(t){\mathfrak Ax}+\cdots +\varphi_{\nu1}(t){\mathfrak A}^{\nu-1}{\mathfrak x}, \] wo die \(\varphi_\kappa(t)\) die Differentialgleichung: \[ \frac{d^\nu \varphi}{dt_\nu}+c_1 \frac{d^{\nu-1}\varphi}{dt^{\nu-1}}+\cdots +c_\nu \varphi=0 \] und die Anfangsbedingungen: \[ \left( \frac{d^\mu \varphi_\kappa(t)}{dt^\mu} \right)_{t=0}=\varepsilon_{\kappa \mu} \;(\kappa,\mu=0,1,\dots,\nu-1) \] befriedigen. Für die Gruppe der Drehungen im \(R_3\) erhält man so die \textit{Euler}sche Parameterdarstellung.