Projektive Differentialinvarianten der Raumkurven und natürliche projektive Geometrie des Raumes. (Q1441322)

Verf. betrachtet die allgemeine projektive Gruppe \(G_{15}\) des \(R_3\). In \S\,1 leitet er aus der Differentialgleichung \(E = 0\) der ebenen Kurven und aus der Gleichung \(K=0\), deren Integralkurven je einem linearen Komplexe angehören, in sehr einfacher Weise das invariante Bogenelement und das Volumenelement der \(G_{15}\) ab. In \S\,2 ergibt sich, daß\ die \textit{Lie}sche Determinante der bis zu Elementen 6. Ordnung erweiterten \(G_{15}\) die Form \(CE^5K^2\) hat, wo \(C\) eine Konstante ist. Hieraus folgt, daß\ man das invariante Bogenelement und das Volumenelement auch für jede mit der \(G_{15}\) ähnliche Gruppe angeben kann. In \S\,3 werden die beiden Differentialgleichungen aufgestellt, die den Rang der \textit{Lie}schen Determinante um zwei verringern und die \(\infty^{12}\) Normalkurven, d. h. die rationalen Raumkurven 3. Ordnung, definieren. Es wird ferner ein Weg angegeben, um für eine beliebige, der \(G_{15}\) ähnliche Gruppe die Gleichung \(E^*=0\) aufzustellen, die der Gleichung \(E=0\) entspricht. In \S\,4 wird die \(G_{15}\) erweitert, indem ein Element \(e_4\) von 4. Ordnung zusammen mit einer Geraden \(\mathfrak g\) betrachtet wird (hier sind im Druck die Seiten 17 und 18 vertauscht). Die \textit{Lie}sche Determinante der erweiterten Gruppe liefert gleich Null gesetzt zwei invariante Gleichungen. Die eine sagt aus, daß\ \(\mathfrak g\) die Tangente von \(e_4\) trifft; die andre sagt aus, daß\ die \(\infty^3\) Tangenten \(\mathfrak g\) der \(\infty^2\) durch \(e^4\) gehenden Normalkurven einen quadratischen Komplex bilden. In \S\,5 werden dann gemischte invariante Differentialausdrücke konstruiert: ein gemischtes Bogenelement und ein ebensolches Volumenelement, hieraus eine gemischte Differentialinvariante von \(e_4\) und dem Elemente 1. Ordnung von usw. Hierdurch wird der Weg gebahnt zur Bestimmung der zwei Invarianten von \(\mathfrak g\) und einem \(e_5\), der vier Invarianten von \(\mathfrak g\) und einem \(e_6\), endlich der beiden Invarianten eines \(e_7\). In \S\,6 werden die angedeuteten Rechnungen wirklich durchgeführt Die vier erwähnten Invarianten werden bestimmt und dann in \S\,7 in bestimmter Weise normiert; diese normierten Invarianten \(i_1,\dots,i_4\) sind die Relativkoordinaten von \(\mathfrak g\) in bezug auf \(e_6\). In \S\,8 endlich werden die Differentialquotienten von \(i_1,\dots,i_4\) nach der invarianten Bogenlänge \(s\) ausgedrückt durch \(i_1,\dots,i_4\) und \(\eta,\vartheta\), die beiden Differentialinvarianten 7. Ordnung der \(G_{15}\). Man erhält so die Identitätsbedingungen der zu \(G_{15}\) gehörigen natürlichen Geometrie, und zwar durch Einführung der überzähligen Invariante \[ i_5=i_2 i_3-i_1i_4 \] in projektiver Form. Überdies kann man auch die Differentialinvarianten \(\eta,\vartheta\) selbst aufstellen.