Bestimmung einer Kurve aus ihrer natürlichen Gleichung. (Q1441323)

Verf. zeigt hier auf neue Weise, daß\ man die Identitätsbedingungen der \textit{Pick}schen Geometrie aufstellen kann, ohne vorher die Fundamentalgrößen (Bogenelement, Differentialinvariante und kovariante Koordinaten) berechnen zu müssen. Er betrachtet eine \(G_r\) der Ebene, die die Elemente \((r-2)\)-ter Ordnung transitiv transformiert. Dann haben zwei Elemente \((r-2)\)-ter Ordnung \(e\) und \(E\) gerade \(r\) Invarianten \(\varphi_k(e,E)\), die man so wählen kann, daß\ sie die Koordinaten von \(E\) werden, wenn man für \(e\) ein nicht singuläres Anfangselement \(e_0\) setzt. Die \(\varphi_k\) nennt Verf. die Relativkoordinaten von \(E\) in bezug auf \(e\) und bezeichnet sie mit \(E_e\). Da die Elemente \(e\) bei \(G_r\) einfach transitiv transformiert werden, gibt es in \(G_r\) eine ganz bestimmte Transformation \(S_e^{e_0}\), die \(e\) in \(e_0\) überführt, und es ist \(E_e=(E)S_e^{e_0}\). wo für \(E\) die gewöhnlichen cartesischen Koordinaten des Elementes \(E\) zu setzen sind. Allgemein stellt \[ E_e=(E_{\overline{e}}) S_{e_{\overline{e}}}^{e_0} \] die Beziehung zwischen den Relativkoordinaten von \(E\) in bezug auf die Elemente \(e\) und \(\overline{e}\) dar. Aus dieser endlichen \textit{Identitätsformel} ergibt sich leicht die infinitesimale, die explicite hingeschrieben wird, und in der nur folgende Größen vorkommen: die \((r-2)\)-mal erweiterten infinitesimalen Transformationen der Gruppe, die Komponenten dieser Transformationen gebildet für das Anfangselement \(e_0\) und die Differentialinvariante \((r-1)\)-ter Ordnung \(I\). Durch diese Größen wird der Differentialquotient einer beliebigen Funktion des Elementes \(E\) nach der invarianten Bogenlänge \(s\) ausgedrückt. Die natürliche Gleichung einer Kurve, die nicht aus lauter singulären Elementen besteht, hat nun die Form: \(I=\Psi(s)\). Die Bestimmung aller Kurven, die diese Gleichung erfüllen, erfordert die Integration der Identitätsbedingungen für die Punktkoordinaten des Elementes \(e\). Zum Schlusse werden zwei Beispiele behandelt. Die allgemeine Gleichung \(I=\Psi(s)\) für die Gruppe: \[ p,q,\alpha xp+\beta yq \;(\alpha \neq \beta) \] und die Gleichung \(I=c\) für die spezielle lineare Gruppe.