Über lineare Differentialsysteme mit konstanten Koeffizienten. (Q1441324)

Verf. knüpft an seine Arbeit: ``Das Liesche Verfahren zur Erzeugung linearer Transformationen aus ihrem Keim'' Berichte Leipzig 80 (1928), 3-7; F. d. M. 54, 442) an. Er bemerkt, daß\ die Funktionen \(\varphi_\kappa\) durch \(\varphi_{\nu-1}\) ausgedrückt werden können, und daß\ man bei Einführung der Bezeichnung: \[ P({\mathfrak A})={\mathfrak A}^\nu+c_1 {\mathfrak A}^{\nu-1}+\cdots +c_\nu {\mathfrak A}^0 \] die Größ\ e \(\mathfrak X\) in der einfachen Form: \[ {\mathfrak X}=\frac{P({\mathfrak x})-P(\Phi)}{{\mathfrak x}-\Phi} \] schreiben kann, wo nach Ausführung der Division zu setzen ist: \[ {\mathfrak x}^\mu={\mathfrak A}^\mu {\mathfrak x}^0,\;\Phi^\mu=\frac{d^\mu \Phi}{dt^\mu}. \] Man kann hier sogar an Stelle von \(P({\mathfrak A})\) die linke Seite \(H({\mathfrak A})\) der unreduzierten charakteristischen Gleichung der Matrix \(\mathfrak A\) setzen. \(\Phi\) ist dann die Lösung der Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung \(H(\varphi)=0\), deren Potenzreihe mit einer möglichst hohen Potenz von t beginnt. Hieran schließ\ t Verf. Auseinandersetzungen über die Rolle, die einerseits die \textit{Weierstraß}schen Elementarteiler spielen, andrerseits die von ihm selber eingeführten charakteristischen Polynome, die bei der von ihm aufgestellten rationalen Normalform der Matrix \(\mathfrak A\) auftreten. Bemerkenswert ist eine elegante Formel für die allgemeine Lösung \(\mathfrak K\), die zu einer gegebenen Wurzel \(r\) der charakteristischen Gleichung gehört.