Die Integralkurven einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung rationaler Unbestimmtheitsstellen. (Q1441361)

In der vorliegenden Arbeit wird der Verlauf der Integralkurven der Differentialgleichung \[ (1)\quad y'=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)},\;P(0,0)=Q(0,0)=0, \] in der Umgebung des Nullpunktes untersucht unter der Voraussetzung, daß\ \(P(x,y)\) und \(Q(x,y)\) in einem den Nullpunkt enthaltenden Bereich \(\mathfrak B\) eindeutig und stetig und von der Form \[ P(x,y)=\sum_{i+k \leqq m} a_{ik} x^i y^k+\varphi(x,y),\;Q(x,y)=\sum_{i+k \leqq n} b_{ik} x^i y^k +\psi(x,y) \] sind, wobei \[ \lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{\varphi(x,y)}{| x|^m+| y|^m} = \lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{\psi(x,y)}{| x|^n+| y|^n}=0. \] Außerdem soll in \(\mathfrak B\) der Punkt (0, 0) der einzige Schnittpunkt der Kurven \(P=0\), \(Q=0\) sein. In Spezialfällen wird entweder über die den Hauptbestandteil von \(P\), bzw. \(Q\) bildenden Polynome oder über die Zusatzfunktionen \(\varphi\), bzw. \(\psi\) mehr vorausgesetzt. Für den Fall, daß\ \(P\) und \(Q\) konvergente Potenzreihen sind, hat \textit{J. Bendixson} (1898; F. d. M. 29, 275 (JFM 29.0275.*)) diese Frage behandelt, indem er die Gleichung (1) in gewisse ``Normaldifferentialgleichungen'' transformierte. \textit{O. Perron} (1922, 1923; F. d. M. 48, 505 (JFM 48.0505.*); 49, 303) verwendet (bei allgemeineren Voraussetzungen) eine analytische Methode, Verf. eine von \textit{Dehn} vorgeschlagene ``Methode der Randsingularitäten'', die die geometrische Struktur des Richtungsfeldes unmittelbar benutzt. Ist \(\mathfrak C\) ein Bereich im Richtungsfeld der Differentialgleichung und \(R\) ein Punkt seines Randes, so heiß\ t \(R\) Quellpunkt oder Verzweigungspunkt von \(\mathfrak C\), je nachdem die Integralkurve durch \(R\) in der Nachbarschaft von \(R\) ganz außerhalb oder ganz innerhalb von \(\mathfrak C\) verläuft. Aus der gegenseitigen Anordnung der ``Randsingularitäten'' Quellpunkt und Verzweigungspunkt kann man Schlüsse auf den Verlauf der Integralkurven in \(\mathfrak C\) ziehen. -- Zunächst werden die ``ausgezeichneten'' Richtungen festgestellt, in denen überhaupt Integralkurven durch \((0,0)\) laufen können; es kann jede Richtung, keine Richtung oder eine endliche Anzahl von Richtungen ausgezeichnet sein. Verf. teilt nun die Umgebung von \((0,0)\) in gewisse ``Normalbereiche'' (meist Sektoren) und gewinnt, indem er für jeden derselben aus der Zahl und Art der hineinfallenden ausgezeichneten Richtungen und der Verteilung der Randsingularitäten den Integralkurvenverlauf feststellt, ein Gesamtbild vom Verlauf der Integralkurven in \(\mathfrak B\). Wegen der Ausführung dieses Grundgedankens muß\ auf die umfangreiche Arbeit verwiesen werden. Die elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Sektoren, auf die \textit{L. E. J. Brouwer} (1909, 1910; F. d. M. 40, 372 (JFM 40.0372.*); 41, 543, 704) bei der Untersuchung derselben Frage geführt wurde, lassen sich aus Normalbereichen zusammensetzen. Ferner wird die auseinandergesetzte Methode für den Fall, daß\ \(P\) und \(Q\) konvergente Potenzreihen sind, so ausgestaltet, daß\ sie die Entwicklung der Integrale durch \((0, 0)\) in Reihen liefert, die nach Lösungen gewisser linearer Differentialgleichungen fortschreiten und sich in Spezialfällen auf bekannte Potenzreihenentwicklungen reduzieren. Zum Schluß\ wird die Methode bei einer ganzen Reihe von Beispielen zur qualitativen Untersuchung der Integralkurven herangezogen.