Sur la solution singulière de l'équation ordinaire du premier ordre. (Q1441373)

Wenn für eine Lösung \(y_1\) der Differentialgleichung \(F(x,y,y')=0\) die Bedingungen \[ \frac{\partial^k F}{\partial y^{\prime k}}=0(k<n),\;\frac{\partial^nF}{\partial y^{\prime n}} \neq 0 \] erfüllt sind, so gelten die Sätze: (1) Wenn eine der Gleichungen \[ \frac{\partial^{\alpha+\beta}F}{\partial y^\alpha \partial y^{\prime \beta}}=0,\;\alpha+\beta<n \] nicht erfüllt ist, so definiert \(y_1\) eine Umhüllungskurve der Integralkurven, welche mit denselben eine Berührung von einer Ordnung \(\leqq n-1\) hat. (2) Wenn die Bedingungen (1) nicht erfüllt sind, so ist \(y_1\) keine Umhüllungskurve der Integralkurven. Ferner gilt der Satz: Für die Existenz eines singulären Integrals \(y_1\), das eine Umhüllungskurve der Integralkurven definiert, ist die Existenz eines Paares von Zahlen \(\alpha,\beta\) notwendig und hinreichend, für welche die Gleichungen \[ F=0,\;\frac{\partial^kF}{\partial y^{\prime k}}=0\;(k \leqq \alpha+\beta), \] \[ \frac{\partial^{\alpha+\beta-1}F}{\partial y^{\alpha-1}\partial y^{\prime \beta}}=0,\;\frac{\partial^{\alpha+\beta}F}{\partial y^{\alpha-1} \partial y^{\prime \beta+1}}=0,\;\frac{\partial^{\alpha+\beta}F}{\partial y^\alpha \partial y^{\prime \beta}} \neq 0,\;\frac{\partial^{\alpha+\beta}F}{\partial y^\alpha \partial y^{\prime \beta}} y'+\frac{\partial^{\alpha+\beta}F}{\partial y^\alpha \partial y^{\prime \beta}} y'+\frac{\partial^{\alpha+\beta}F}{\partial x \partial y^{\alpha-1} \partial y^{\prime\beta}}=0 \] eine gemeinsame Lösung \(y'\) haben.