Über Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen. (Q1441378)

In dieser Arbeit handelt es sich um Differentialgleichungssysteme der Form \[ \frac{dx_\nu}{dt}=a_{\nu 1}x_1+\cdots+a_{\nu n}x_n+\varphi_\nu(x_1,\dots,x_n,t) \;(\nu=1,2,\dots,n), \] wo die \(a_{\nu \mu}\) reelle oder komplexe Konstanten, die \(x_\mu\) reelle oder komplexe stetige Funktionen und die \(x_\mu\) reelle oder komplexe Funktionen der reellen Veränderlichen \(t\) für \(t \geqq 0\) sind; außerdem soll \(\varphi_\nu(0,\dots,0,t)=0\) sein für \(t \geqq 0\). Die triviale Lösung \(x_\nu=0\) heiß\ t \textit{stabil}, wenn es eine Zahl \(a>0\) folgender Art gibt: Jedem \(\varepsilon\) \((0<\varepsilon<a)\) läß\ t sich ein \(\varepsilon_1\) \((0<\varepsilon_1<\varepsilon)\) zuordnen, sodaß\ jedes Integralsystem, für dessen Ausgangswerte \[ (1)\quad 0 < \sum| x_\nu(0)|<\varepsilon_1 \] gilt, für \(t \geqq 0\) ständig existiert und die Ungleichung \[ (2)\quad \sum | x_\nu(t)|<\varepsilon \] erfüllt. Andernfalls heiß\ t die Lösung \textit{instabil}; sie heiß\ t \textit{vollkommen instabil}, wenn bei jedem Integralsystem, für welches \(0<\sum| x_\nu(0)|<\varepsilon_1\), für ein endliches \(t\) die Existenz aufhört oder \(\sum | x_\nu(t)|=\varepsilon\) wird. Sie heiß\ t \textit{unvollkommen instabil oder ledingt stabil}, wenn wohl \textit{einige}, aber niemals \textit{alle} Integrale, die (1) erfüllen, für alle \(t \geqq 0\) existieren und (2) befriedigen. Die stetige Funktion \(\varphi(x_1,\dots,x_n,t)\) erfüllt die \textit{Bedingung} \(\mathfrak A\), wenn es zwei Konstanten \(a\) und \(K\) derart gibt, daß \[ | \varphi(x_1,\dots,x_n,t)| \leqq K(| x_1|+\cdots+| x_n|)\;\text{für}\;| x_\nu| \leqq a,t \geqq 0; \] \textit{die Bedingung} \(\mathfrak B\), wenn \[ \frac{\varphi(x_1,\dots,x_n,t)}{| x_1|+\cdots+| x_n|} \to 0 \;\text{für} \;| x_1|+\cdots+| x_n| \to 0,\;t \to \infty; \] \textit{die Bedingung} \(\mathfrak C\), wenn es zu jedem \(\varepsilon>0\) zwei Zahlen \(\delta_\varepsilon\) und \(T_\varepsilon\) derart gibt, daß \[ | \varphi(x_1',\dots,x_n',t)-\varphi (x_1'',\dots,x_n'',t) \leqq \varepsilon \sum_{\nu=1}^n | x_\nu'-x_\nu''| \] \[ \text{für}\;| x_\nu'| \leqq \delta_\varepsilon,\;| x_\nu''| \leqq \delta_\varepsilon,\;t \geqq T_\varepsilon. \] Mit \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak C\) ist auch \(\mathfrak B\) erfüllt. Mittels dieser Terminologie lassen sich die wichtigsten Ergebnisse folgendermaßen aussprechen: Erfüllen die Funktionen \(\varphi_\nu\) die Bedingungen \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\), und haben alle Wurzeln \(\varrho_1,\dots,\varrho_n\) der charakteristischen Gleichung \[ \| a_{\nu \mu}-\varrho \varepsilon_{\nu \mu} \|=0 \;(\varepsilon_{\nu \mu}=0\;\text{für}\;\nu \neq \mu,\;\varepsilon_{\nu \mu}=1 \;\text{für}\;\nu=\mu) \] einen negativen Realteil \(\Re(\varrho_\nu)\), so ist die triviale Lösung \(x_\nu=0\) \textit{stabil}; ist mindestens ein \(\Re(\varrho_\nu)\) positiv, so ist sie \textit{instabil}; sind alle \(\Re(\varrho_\nu)>0\), so ist sie \textit{vollkommen instabil}. Unter den schärferen Voraussetzungen \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak C\) ist die Lösung \(x_\nu=0\) \textit{bedingt stabil}, wenn \(k\) der Zahlen \(\Re(\varrho_\nu)\) positiv, die übrigen \(n-k\) \((k \geqq 1,n-k \geqq 1)\) negativ sind (\S\S\,3,4,5). Bezüglich des asymptotischen Verhaltens wird in \S\,6 gezeigt: Erfüllen die Funktionen \(\varphi_\nu\) die Bedingungen \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) und sind nicht alle \(\Re(\varrho_\nu)\) positiv, so gibt es zu jedem Integralsystem \(x_\nu\), für welches \(\lim_{t \to \infty} x^\nu=0\), einen Index derart, daß \[ \overline{\lim_{t \to \infty}} \frac{\log(| x_1|+\cdots+| x_n|)}{t} = \Re(\varrho_l) \leqq 0. \] Ist außerdem die Bedingung \(\mathfrak C\) erfüllt, so gibt es auch umgekehrt zu jedem Index \(l\), für den \(\Re(\varrho_l)<0\) ist, ein solches Integralsystem. Bei spezielleren Annahmen über die \(\varrho_\nu\), werden in \S\,7 noch genauere Aussagen über das asymptotische Verhalten der Integrale gemacht. In \S\,8 werden die allgemeinen Resultate insbesondere auf lineare Differentialgleichungssysteme \[ \frac{dx_\nu}{dt}=\sum_{\mu=1}^n [a_{\nu \mu}+\varphi_{\nu \mu}(t)] x_{\nu \mu} \;(\nu=1,2,\dots,n) \] angewendet; dabei wird der Zusammenhang mit früheren Untersuchungen des Verf (1913; F. d. M. 44, 370 (JFM 44.0370.*)-372) hergestellt.