Sur certaines équations différentielles du \(2^d\) ordre dans l'espace à cinq dimensions. (Q1441393)

In einem dreidimensionalen, aus einer Horizontalebene und zwei konfokalen parabolischen Zylindern mit vertikalen Kanten bestehenden Koordinatensystem läß\ t sich die dreidimensionale \textit{Laplace}sche Gleichung \(\Delta U = 0\) auf die Form \[ (1)\quad \frac{d^2y}{dx^2}+(A+Bx^2)y=0 \] bringen. Diese Tatsache wird von Verf. auf den Fall von vier und fünf Dimensionen verallgemeinert: Im vierdimensionalen Raum erhält er unter Zugrundelegung eines rechtwinkligen Koordinatensystems, das aus einer Hyperebene und drei über konfokalen Paraboloiden errichteten Hyperzylindern besteht, die Differentialgleichung \[ (2)\quad \frac{d^2y}{dx^2}+(A+B \cos^2x+C \cos^4x)y=0 \] (\(A, B, C\) konstant), die eine Verallgemeinerung der \textit{Mathieu}schen Gleichung darstellt. Im fünfdimensionalen Raum geht Verf. von einem analogen rechtwinkligen Koordinatensystem aus und gelangt zu der linearen, homogenen Differentialgleichung \[ (3)\quad \frac{d^2y}{du^2}+(A+B \wp u + C \wp^2 u-h^2 \wp^3 u)y=0 \] in der \(\wp u\) die \textit{Weierstraß}sche elliptische Funktion und \(A, B, C, h\) Konstanten bedeuten. (3) stellt einerseits eine Verallgemeinerung von (2), andererseits eine Verallgemeinerung der \textit{Lamé}schen Gleichung \[ \frac{d^2y}{du^2}+(A+B \wp u)y=0 \] dar. Die Lösungen der Gleichung (3) werden vom Verf. in gewissen Spezialfällen ausführlich diskutiert. Schließlich wird eine Verallgemeinerung auf \(n\) Dimensionen gegeben, wobei an Stelle der trigonometrischen und der elliptischen Funktionen hyperelliptische Funktionen als Koeffizienten der Differentialgleichung auftreten. (IV 6 D, IV 12.)