Überführung linearer Differentialgleichungen in Integralgleichungen. (Q1441400)

Bekanntlich kann man das \textit{Anfangswertproblem} (\textit{Cauchy}sches Problem) für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung \[ f^{(n)}(x)=a_1(x)f^{(n-1)}(x)+\cdots +a_n(x)f(x)=b(x) \] auf eine \textit{Volterra}sche Integralgleichung und ein Randwertproblem auf eine \textit{Fredholm}sche zurückführen. Die bekannten Methoden dieser Zurückführung sind in beiden Fällen ganz verschieden. Im zweiten Fall gelingt sie erst nach Auffindung einer \textit{Green}schen Funktion, für welche wiederum die Kenntnis eines Fundamentalsystems der homogenen Gleichung nötig ist. -- Verf. entwickelt nun ein Verfahren, das beide Fälle umfaß\ t (und außerdem auch den gemischten Fall, in welchem \(f(x)\) nebst den Ableitungen bis zur \(n_\nu\)-ten für \[ x=x_1,\dots,x=x_\nu,\dots,x=x_r \;(n_1+\cdots+n_r=n) \] gegeben ist), und bei welchem die Kenntnis der Greenschen Funktion nicht nötig ist. Das Verfahren gestaltet sich, wenn etwa \(f(x_\nu)=y_\nu\) \((\nu=1,2,\dots,n)\) vorgegeben ist (\textit{Lagrange}sches Problem), folgendermaßen: Nach der \textit{Taylor}schen Formel ist \[ y_\nu=f(x)+(x_\nu-x)f'(x)+\cdots +\frac{(x_\nu-x)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n1)}(x)+ \int_x^{x_\nu} \frac{(x_\nu-z)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(z)dz. \] Diese \(n\) Gleichungen bilden zusammen mit der gegebenen Differentialgleichung ein lineares homogenes Gleichungssystem für die Größen \(1, f, f',\dots,f^{(n-1)}\). Durch Nullsetzen der Determinante dieses Systems erhält man eine Integralgleichung für \(f^{(n)}(x)\), die leicht auf die Form einer \textit{Fredholm}schen gebracht werden kann. (IV 7.)