Über algebraische, insbesondere lineare Integrale algebraischer Differentialgleichungen 1. Ordnung 1. Grades. (Q1441407)

Verf. behandelt die algebraischen Integrale einer algebraischen Differentialgleichung erster Ordnung ersten Grades in der projektiv invarianten Form \[ (1)\quad \begin{vmatrix} A^1 & A^2 & A^3 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ dx_1 & dx_2 & dx_3 \end{vmatrix}=0, \] wo die \(A^k\) homogene Polynome \(m\)-ter Ordnung in \(x_1,x_2,x_3\) und die Unterdeterminanten der letzten Zeile ohne gemeinsamen Teiler sind. Im ersten Abschnitt werden einige Abzählungen vorgenommen. Z. B. enthält die Differentialgleichung höchstens \(m^2 + 4 m + 2\) wesentliche Konstanten und besitzt höchstens \(m^2 + m + 1\) singuläre Punkte. Ihr allgemeines Integral \(\Phi(x_1,x_2,x_3)\)=const. läß\ t sich darstellen in der Form \[ \Phi=(G^1)^{\beta^1} (G_2)^{\beta^2} \cdots (G^a)^{\beta^q} \] wo die \(G^\nu\) homogene Polynome \(n_\nu\)-ter Ordnung \((n_\nu \leqq m+1)\) in \(x_1,x_2,x_3\) und \(G^\nu=0\) eine ``algebraische Grundlösung'' von (1), sowie \(\beta^\nu \neq 0\), \(\sum_{\nu=1}^n n_\nu \beta^\nu=0\) ist. Lassen sich \(q\) \((\leqq m+2)\) teilerfremde Grundlösungen angeben, von denen \(k_\nu\) die Ordnung \(n_\nu\) \((\nu=1,2,\dots,q)\) haben, und ist \(\sum_{\nu=1}^q k_\nu n_\nu=m+2\), so ist (1) durch Quadraturen integrierbar. Dies ist die Verschärfung eines Ergebnisses von \textit{G. Darboux} (1878; F. d. M. 10, 214 (JFM 10.0214.*)-2l9). Im zweiten Abschnitt werden die Differentialgleichungen behandelt, deren allgemeines Integral sich allein aus linearen Funktionen aufbauen läßt. Ihre singulären Punkte zerfallen in zwei Gruppen; die eine Gruppe bilden die Schnittpunkte der geradlinigen Lösungen, die andere die singulären Punkte der Wendekurve. Im dritten Abschnitt wird der nächst der \textit{Jacobi}Differentialgleichung einfachste Fall behandelt; es ist \(m=2\), und die Differentialgleichung besitzt im allgemeinen vier geradlinige Lösungen, aus denen sich das allgemeine Integral aufbauen läßt. Der Verlauf der Integralkurven wird zunächst für die Hilfsgleichung \[ a_0x^2+2a_1xy+a_2y^2+(b_0x^2+2b_1 xy+b_2y^2)y'=0, \] sodann für den allgemeinen Fall diskutiert.