Mathieu functions of stable type. (Q1441420)

Die Lösung der allgemeinen \textit{Mathieu}schen Differentialgleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2}+(\eta-2 \vartheta \cos 2x)y=0 \] heiß\ t \textit{stabil}, wenn der Exponent \(\mu\) (vgl. das vorangehende Referat) rein imaginär, etwa gleich \(i \varrho\) ist (\(\varrho\) reell), so daß\ für \(\varrho\) nicht ganz die allgemeine Lösung die Form hat \[ y=A \sum_{r=-\infty}^{+\infty} e_r \cos(2r+\varrho)x+B \sum_{r=\infty}^{+\infty} e_r \sin(2r+\varrho)x \] (\(\varrho\) ganz würde auf einen der wohlbekannten Fälle führen, wo eine Lösung der Periode \(\pi\) oder \(2\pi\) verhanden ist). Aus den Rekursionsformeln für \(e_r\) ergibt sich die Darstellung des Quotienten \(\frac{e_n}{e_{n-1}}\) durch zwei verschieden gebaute unendliche Kettenbrüche, die von \(\eta,\vartheta,n;\varrho\) abhängen. Ihre Gleichheit für irgendein festes \(n\) ist die Bedingung für \(\varrho\), mit deren Hilfe sich, wenn das gegebene Wertepaar \(\eta,\vartheta\) einem stabilen Fall entspricht, \(\varrho\) näherungsweise berechnen läßt. Für ein numerisches Beispiel sind \(\varrho;e_{-6},e_{-5},\dots,e_4\) auf 6 Stellen berechnet. (IV 6 B.)