On the irregular cases of the linear ordinary difference equation. (Q1441469)

Verf. untersucht die lineare Differenzengleichung \(n\)-ter Ordnung \[ \sum_{\nu=0}^n a_\nu(x) g(x+n-\nu)=0 tag{1} \] der komplexen Variablen \(x\), deren Koeffizienten durch die für \(| x|>R\) gültigen Entwicklungen \[ a_\nu(x)=x^m(a_{\nu 0}+a_{\nu 1}x^{-1}+a_{\nu 2} x^{-2}+\ldots) \;(\nu=0,1,\ldots,n) tag{2} \] dargestellt seien. Wenn die ``charakteristische Gleichung'' von (1): \[ a_{00}\varrho^n+a_{10} \varrho^{n+1}+\cdots +a_{n-10} \varrho+a_{n 0}=0 tag{3} \] lauter endliche, von Null und paarweise von einander verschiedene Wurzeln besitzt, so spricht man von dem ``regulären Fall'' der Gleichung (1), den man vollständig beherrscht. Verf. beschäftigt sich in der vorliegenden Arbeit ausschließlich mit den ``irregulären Fällen'' von (1), d. h. mit solchen Fällen, in denen die soeben über die Wurzeln von (3) ausgesprochenen Annahmen nicht sämtlich erfüllt sind. Irreguläre Fälle sind bisher für die Differenzengleichung zweiter Ordnung von \textit{E. W. Barnes} [Messenger (2) 34, 52--71 (1904; JFM 35.0348.01)], \textit{Perron} [Sitzungsber. Heidelb. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl. 1917, 17. Abh., 20 S. (1917; JFM 46.0706.01)] und \textit{P. M. Batchelder} [An introduction to linear difference equations. London: Oxford University Press (1927; JFM 53.0430.10)] behandelt worden; Barnes untersuchte vollständig den Spezialfall einer Gleichung mit linearen Polynomen als Koeffizienten, Perron den Fall einer beliebigen Gleichung zweiter Ordnung, deren charakteristische Gleichung eine Doppelwurzel besitzt, während Batchelder unter Anwendung der von \textit{G. D. Birkhoff} [Trans. Am. Math. Soc. 12, 243--284 (1911; JFM 42.0359.02)] für den regulären Fall ausgearbeiteten Methode fast alle Irregularitäten der Gleichung zweiter Ordnung erledigte. Die Gleichung beliebiger Ordnung wurde in irregulären Fällen von \textit{J. Horn} [J. Reine Angew. Math. 138, 159--191 (1910; JFM 41.0367.02)] und \textit{H. Galbrun} [Bull. Soc. Math. Fr. 49, 206--241 (1921; JFM 48.0533.01)] behandelt; bei Horn wird die Irregularität durch das Verschwinden einer einzigen Wurzel von (3), bei Galbrun durch das Auftreten einer Doppelwurzel von (3) bedingt. Verf. behandelt, indem er, wie Batchelder, die Birkhoffsche Methode sinngemäß\ überträgt, neue Fälle von Irregularitäten der Gleichung zweiter Ordnung, nämlich einerseits solche, in denen die Theorie sich von derjenigen für den regulären Fall nur wenig unterscheidet, andererseits den Fall einer \(n\)-fachen, von Null verschiedenen Wurzel. Es werden Lösungen von (1) in Form formaler Reihen angegeben, und es werden analytische Lösungen bestimmt, die durch diese formalen Reihen asymptotisch dargestellt werden.