Mathematische Miszellen. XIII: Über Abhängigkeit linearer Systeme und Integrabilitätsbedingungen für Systeme linearer Differentialgleichungen in mehreren Variablen. (Q1441491)

Das Differentialgleichungssystem \[ \frac{\partial A_{\mu \nu}}{\partial x_\varrho}=\sum_{\kappa=1}^m \Gamma_{\mu \kappa}^{(\varrho)} A_{\kappa \nu} \;(\mu,\nu=1,2,\dots,m; \varrho=1,2,\dots,r) \] läß\ t sich, wenn die Matrix \((A_{\mu \nu})\) mit \(A\) und bei festem \(\varrho\) die Matrix \((\Gamma_{\mu \nu}^{(\varrho)}\) mit \(w_\varrho\) bezeichnet wird, bequemer so schreiben: \[ \frac{\partial A}{\partial x_\varrho}=w_\varrho A \;(\varrho=1,2,\dots,r). \] Die Integrabilitätsbedingungen lauten dann \[ w_\varrho w_\sigma-w_\sigma w_\varrho +\frac{\partial w_\varrho}{\partial x_\sigma}- \frac{\partial w_\sigma}{\partial x_\varrho}=0. \] Verf. geht bei dem neuen Beweis dieses Satzes von der Matrixschreibweise aus, behält sie aber nicht konsequent bei. Dadurch leidet wohl die Durchsichtigkeit etwas, anderseits wird aber die Anwendung von zwei (bei Matrixrechnung vermeidbaren) Sätzen über lineare Abhängigkeit von Funktionensystemen ermöglicht, die an sich interessant sind. Der erste ist eine weitgehende Verallgemeinerung des Satzes über die \textit{Wronski}sche Determinante, der zweite eine Anwendung des ersten.