Sur un problème de Monge à plusieurs variables indépendantes. (Q1441492)

Für die partielle Differentialgleichung \[ (1)\quad F(x_1,x_2,\dots,x_{n+2};P_1,P_2,\dots,P_{n+1})=0 \;(P_i=\frac{\partial x_{n+2}}{\partial x_i}; \;i=1,2,\dots,n+1) \] werden die ``singulären Mannigfaltigkeiten'' \({\mathfrak M}_n\) betrachtet, welche im Falle \(n = 1\) den Mongeschen Integralkurven entsprechen. Sind \(x_{n+1}=f_1(x_1,\dots,x_n)\) und \(x_{n+2}=f_2(x_1,\dots,x_n)\) die Gleichungen einer \({\mathfrak M}_n\), so genügen \(f_1\) und \(f_2\) einer partiellen Differentialgleichung \[ \begin{multlined} (2)\quad \Phi(x_1,\dots,x_{n+1},x_{n+2}, p_1,\dots,p_n,q_1,\dots, q_n)=0 \\ (p_i=\frac{\partial f_1}{\partial x_i}, q_i=\frac{\partial f_2}{\partial x_i};\;i=1,2,\dots,n). \end{multlined} \] Die Bedingung: ``\(\frac{\partial \Phi}{\partial p_i}: \frac{\partial \Phi}{\partial q_i}\) unabhängig von \(i\)'' ist notwendig dafür, daß\ (2) die singuläre Mannigfaltigkeit einer Differentialgleichung erster Ordnung darstellt, und hinreichend dafür, daß\ man (2) integrieren kann, indem man die Variablen und die beiden unbekannten Funktionen mit Hilfe von \(n\) Parametern und einer willkürlichen Funktion dieser Parameter und ihrer Ableitungen bis zur zweiten Ordnung ausdrückt. Die erhaltenen Resultate lassen sich auf den Fall ausdehnen, daß\ an Stelle von (1) ein in Involution befindliches System erster Ordnung mit einer Unbekannten tritt.