Einige Bemerkungen zu den Arbeiten der Herren O. Perron und L. A. Lusternik über das Dirichletsche Problem. (Q1441544)

Es wird gezeigt: (1) Der erste Absatz der \textit{Perron}schen Bedingung (A) (1923; F. d. M. 49, 340 (JFM 49.0340.*)) ``es gibt eine in \(G+R\) stetige Funktion \(w\), für die \(w(\xi)\leqq 0\)'' kann durch den folgenden ersetzt werden: ``es gibt eine in \(G\) stetige Funktion \(w\), für die \(\underline{w}(\xi)=\overline{w}(\xi)=0\) ist''. Die umgeformte Bedingung (A') ist nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig dafür, daß\ für jede beschränkte Funktion \(f\) eine in \(G\) harmonische Funktion \(U\) existiere, für welche in Punkten \(P(\xi)\) \[ \underline{f} \leqq \underline{u} \leqq \overline{u} \leqq \overline{f} \] sei. (2) Es gibt keine zwei harmonische Funktionen, die in allen \(P\)-Punkten dieselben Randwerte erhalten; dabei verlangt man, daß\ für jede die Gleichung \(\underline{u}=\overline{u}\) in \(P\)-Punkten gilt. (3) Die von \textit{L. A. Lusternik} konstruierte Funktion \(z\) (Moscou, Rec. Math. 33 (1926), 173-201; F. d. M. 52) nimmt in allen \(P\)-Punkten gegebene Werte an.