On spheroidal harmonics as hypergeometric functions. (Q1441567)

Darstellung \textit{Lamé}scher Funktionen für den Fall des Rotationsellipsoids als hypergeometrische Reihen. Die übliche Behandlung der auf elliptische Koordinaten transformierten Gleichung \(\Delta V=0\) für den Fall von Rotationsflächen wird hier in folgender Weise abgeändert: Die analytische Funktion einer komplexen Veränderlichen, mittels der man krummlinige Koordinaten In den Meridianschnitten einführt, enthält noch einen zwischen \(-1\) und \(+1\) veränderlichen Parameter \(\lambda\), der je nach seinem Vorzeichen dem Fall des abgeplatteten oder verlängerten Rotationsellipsoids entspricht. Beide Fälle, die sonst getrennte Behandlung erfordern, können damit gemeinsam erledigt werden. Nach einer weiteren Koordinatentransformation wird die Lösung als Potenzreihe in \(\lambda\) angesetzt, also \[ V=f_0+\lambda f_1+\lambda^2 f_2+\cdots. \] Für die \(f_\nu\) werden Rekursions-Differentialgleichungen angegeben. \(f_0\) ist eine bekannte Lösung für den Kugelfall \((\lambda=0)\). Man erhält schließlich eine Lösung in der Form \[ V(\mu,\zeta)=\zeta^{k+1}P_k(\mu) F(k+1,\frac 12; k+\frac 32; \lambda \zeta^2),\;(k=0,1,2,\dots). \] Dabei bedeutet \(P_k(\mu)\) das \(k\)-te \textit{Legendre}sche Polynom, \(F\) die hypergeometrische Reihe. Schließlich werden noch die Beziehungen aufgestellt, die zwischen der sonst üblichen Form der Lösung und der hier gewonnenen bestehen. Letztere ist sehr geeignet für numerische Berechnungen. (IV 6 B.)