Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques. (Q1441575)

Im ersten Teil entwickelt Verf. neue Eigenschaften konvexer Funktionen: Damit der Logarithmus einer positiven Funktion \(u(x)\) konvex sei, ist es notwendig und hinreichend, daß\ \(e^{\alpha x}u(x)\) für alle reellen \(\alpha\) konvex ist, oder daß\ \(u^m\) für alle genügend kleinen positiven in konvex ist. Ist \(\log u\) konvex in \(\log x\), denn ist \(\log \left\{ \int_0^x u(t)dt \right\}\) ebenfalls konvex in \(\log x\). Der zweite Teil enthält eine sehr gute, zusammengedrängte Entwicklung der Theorie der subharmonischen Funktionen (\textit{F. Riesz}, Acta Math. 48 (1926), 329-343; F. d. M. 52). Verschiedene Eigenschaften konvexer Funktionen (= subharmonischen Funktionen einer einzigen Variablen) werden für den Fall mehrerer Variablen erweitert. So wird z. B. die soeben erwähnte Eigenschaft für den Fall zweier Variablen \((x,y)\) erweitert, wobei der Faktor \(e^{\alpha x}\) durch \(e^{\alpha x+\beta y}\) ersetzt wird, \(\alpha\) und \(\beta\) reell, sonst beliebig. Es wird jedoch die Existenz der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von \(u(x,y)\) vorausgesetzt. (\textit{T. Radó} zeigt in C. R. 186 (1928), 346-348; F. d. M. 54, 517 (JFM 54.0517.*), daß\ bereits die Stetigkeit von \(u(x,y)\) genügt.) Gehören subharmonische Funktionen einer normalen und beschränkten Familie an, so ist diejenige Funktion \(u(x,y)\), die in jedem Punkte \((x,y)\) der oberen Grenze des Wertevorrats der Familie gleich ist, selbst wieder subharmonisch. Im dritten Teil beweist Verf. u. a: Ist \(u(x,y) \equiv f(U)\) subharmonisch und \(U(x,y)\) harmonisch, so ist \(f(U)\) konvex in \(U\), und umgekehrt. Es folgen dann zahlreiche Anwendungen der vorstehenden Resultate auf die Theorie der Mittel analytischer Funktionen auf Kreisen oder Geraden. Der klassische \textit{Hadamard}sche Dreikreisesatz sowie neuere Ergebnisse von \textit{Hardy, Walther, Julia, Nevanlinna, Doetsch, Hardy-Ingham-Pólya} werden erhalten als einfache Folgerungen der allgemeinen Theorie. Zum Abschluß\ gibt Verf. eine Erweiterung der Resultate von \textit{Fabry, Faber} und \textit{Hartogs}: Die assoziierten Konvergenzradien einer Potenzreihe sind derart miteinander verknüpft, daß\ der Logarithmus eines jeden Radius eine superharmonische Funktion aller andern Radien ist, konkav in jedem von ihnen. (IV 4.)