Das Anfangswertproblem einer beliebigen nicht-linearen hyperbolischen Differentialgleichung beliebiger Ordnung in zwei Variablen. Existenz, Eindeutigkeit und Abhängigkeitsbereich der Lösung. (Q1441584)

Bei dem in der Arbeit behandelten Anfangswertproblem einer Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung \[ F(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},\dots)=0 \] für eine Funktion \(u(x,y)\) sind auf einer nirgends charakteristischen Kurve der \((x,y)\) Ebene die Anfangswerte der Funktion \(u\) und ihrer Ableitungen bis zur \(n\)-ten Ordnung derart vorgegeben, daß\ sie die gegebene Differentialgleichung befriedigen und überdies längs dieser Kurve eine Reihe von ``Streifenbedingungen'' erfüllen. Das genannte Problem wird ersetzt durch das Anfangswertproblem für ein System von ``charakteristischen Differentialgleichungen'' erster Ordnung, (das für eine Lösung \(u\) von \(F=0\) und ihre Ableitungen \(u_x,u_y,\dots\) sicher erfüllt ist), wobei die Größen \(x,y,u,u_x,u_y,\dots\) zunächst als unbekannte, von einander unabhängige Funktionen aufgefaß\ t werden und ihre ersten Ableitungen nach einer charakteristischen Richtung auftreten. Daß\ die gegebene Gleichung für die Anfangswerte hyperbolisch sein soll, bedeutet, daß\ es \(n\) verschiedene, reelle charakteristische Richtungen gibt. Aus der Gesamtheit aller möglichen charakteristischen Differentialgleichungen, deren Anzahl größer als die der gesuchten Funktionen ist, können ebensoviel Gleichungen, wie es Funktionen gibt, derart ausgewählt werden, daß\ das entstehende System partieller Differentialgleichungen in den Ableitungen linear wird und seine Determinante auf der Anfangslinie von Null verschieden ist. Sodann wird mittels eines Differenzenverfahrens für dieses System mit entsprechenden Anfangsbedingungen der Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis für die Lösung erbracht. Schließlich wird nachgewiesen, daß\ diese Lösung auch die gesuchte Lösung der ursprünglichen Gleichung \(F = 0\) ist. Der Wert der Lösung in einem Punkte \(P\) hängt nicht von sämtlichen Anfangswerten ab, sondern nur von dem Teil der Anfangskurve, der von den beiden äußersten charakteristischen Linien durch \(P\) ausgeschnitten wird.