The solution of Cauchy's problem for linear partial differential equations, with constant coefficients, by means of integrals involving complex variables. (Q1441588)

Bei der \textit{Riemann}schen Methode zur Lösung des \textit{Cauchy}schen Problems bei einer linearen hyperbolischen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten in zwei unabhängigen Veränderlichen kommt es bekanntlich darauf an, eine Lösung der adjungierten Gleichung zu finden, die noch gewissen Nebenbedingungen genügt. Diese Riemannsche Funktion läß\ t sich mit Hilfe der \textit{Bessel}schen Funktion darstellen. Verf. bemerkt nun, daß\ man diese Lösung der adjungierten Gleichung auch als komplexes Doppelintegral darstellen kann. In der so erhaltenen Lösung der ursprünglichen Gleichung läß\ t sich nun unter speziellen Annahmen über die Anfangsbedingungen und das absolute Glied (Exponentialfunktion oder Polynome) die Integration durchführen, und man gelangt zur expliziten Lösung des \textit{Cauchy}schen Problems in Form eines einfachen komplexen Integrals. Diese Lösung ist auch für parabolische und elliptische Gleichungen gültig. Verf. bemerkt, daß\ sich die von ihm angewandte Methode in natürlicher Weise auf Gleichungen höherer Ordnung ausdehnen läßt. (IV 12, IV 13.)