The foundations of a theory in the calculus of variations in the large. (Q1441607)

Beim Zweikörperproblem liefert die geschlossene elliptische Bahn gegenüber benachbarten geschlossenen Kurven keinen Kleinstwert des \textit{Jacobi}schen Wirkungsintegrals; das ist eine der zahlreichen Anwendungen der Variationsrechnung, bei denen die Extremale des Integrals \(I\) diesem keinen Kleinstwert erteilt wegen des Vorhandenseins von Paaren konjugierter Punkte. Es besteht also Veranlassung, Extremalen zu untersuchen, die zu einem gegebenen Punkte konjugierte enthalten; ein weiterer Anstoß\ dazu rührt daher, daß\ man auch, wenn es die Feststellung eines wirklichen Kleinstwertes gilt, nichtkleinstwertige Extremalen zur Hilfe heranzieht. -- Es ist die Zahl \(k\) der zum Punkte \(A\) konjugierten Punkte des Extremalenbogens \(g\) von \(A\) nach \(B\), welche dessen Gattung bestimmt. Nun besteht eine Entsprechung \(\mathfrak K\) zwischen \(k\) und der Gattungszahl eines kritischen Punktes \((v_1=\dots =v_n=0)\) einer gewissen Funktion \(I(v_1,\dots,v_n)\), nämlich des Grundintegrals, das man längs des gebrochen-extremalen Weges durch die Punkte \(A\), \((u_i,v_i)(i=1,\dots,n)\), \(B\) bildet, wo \(u_i\) die Längen der Bögen auf \(g\), \(v_i\) die Längen gewisser Abwege von \(g\) bedeuten. Dabei heiß\ t ein Punkt einer Funktion \(\Phi(v_1,\dots,v_n)\) kritisch, wenn in ihm \(\frac{\partial \Phi}{\partial v_i}=0 (i = 1,\dots,n)\) ist. \(\mathfrak K\) besagt, daß\ \(k\) zugleich die Anzahl der negativen Summanden nach der Umrechnung der quadratischen Form \(\left( \frac{\partial^2I}{\partial v_i \partial v_j} \right)_0 v_iv_j\) auf Quadrate ist. Es gilt nun folgender Satz von den kritischen Punkten \(K\) gleichen Ranges \(n\) einer Funktion \(\Phi\), die in einem mit der \((n-1)\)-stufigen Überkugel homöomorphen Stücke des \(n\)-stufigen Raumes gegeben ist: \(m\) sei das größte \(k, M_k\) die Anzahl der \(K\) von der Gattung \(k\); dann ist \[ (1)\quad \begin{matrix} &1 \leqq M_0,\;1 \geqq M_0-M_1,\;\;\leqq M_0-M_1+M_2,\dots, \\ &1 \leqq (-1)^{m-1} \sum_k^{0,m-1} (-1)^kM_k,\;1=\sum_k^{0,m}(-1)^k M_k. \end{matrix} \] Dieses Ergebnis liefert einen Satz der Variationsrechnung, wenn man unter \(M_k\) die Anzahl der Extremalen der Gattung \(k\) zwischen \(A\) und \(B\) in einem gewissen Gebiete versteht. Bei periodischen Extremalen der Länge \(\omega\) bestimmt sich im nicht-ausgearteten Falle (d. h. wenn die \textit{Jacobi}sche Differentialgleichung keine andere periodische Lösung hat als die identisch verschwindende) die Gattung mittels der Zahl in der zu \(u_0=u_n-\omega\) konjugierten Punkte vor \(u_n\) durch folgende Vorschrift: Ist \(u_0\) zu \(u_n\) konjugiert, so \(k=m+1\); sonst \(k=m\) oder \(m+1\), je nachdem ob der Bogen \(u_0u_n\) konvex oder konkav ist. Im ausgearteten Falle wird die Grundfunktion mit Hilfe eines Parameters so abgeändert, daß\ dann nicht-ausgeartete periodische oder keine periodischen Extremalen auftreten; die Gattung der ausgearteten Extremalen wird durch diejenige dieser Hilfsextremalen erklärt. Bei dieser Auffassung des ausgearteten Falles ergibt sich über die Beziehungen periodischer Extremalen im großen der Satz: Wenn es in einem Ringgebiete höchstens eine endliche Anzahl periodischer Extremalen gibt, die in eine seiner beiden Randkurven stetig übergeführt werden können, so bestehen zwischen den Anzahlen \(M_k\) dieser Extremalen von der Gattung \(k\) die Formeln (1). Verf. zeigt dann, daß\ man die Gattung des Bogens \(AB\) einer Extremale \(g\) kennzeichnen kann auf Grund der Möglichkeit oder Unmöglichkeit gewisser Überführungen von Kurven, die \(A\) und \(B\) verbinden. Es liege eine sogenannte abgeschlossene \(m\)-Familie solcher Kurven in der Nachbarschaft von \(g\) vor, die dem Integrale \(I\) einen nur wenig kleineren Wert erteilen als \(g\). Dann lassen sich die, bei denen \(m<k-1\), in eine einzelne Kurve überführen. Die, bei denen \(m \geqq k-1\), enthalten wenigstens eine in-Familie, die nicht in eine \((k-1)\)-Familie auf einer \((r<k-1)\)-Familie überführbar ist. Die, bei denen \(m \geqq k-1\), kann man stets in eine \(m\)-Familie auf einer \((k-1)\)Familie überführen. Verf. erörtert noch die Beziehungen zu einschlägigen Sätzen von Osgood und \textit{Birkhoff}. Zum Schlusse berührt er den Fall veränderlicher Endpunkte: Er teilt einen Satz über Zahl und Art der Normalen von einem Punkte eines \((n+1)\)-stufigen Raumes auf eine \(n\)-stufige Mannigfaltigkeit mit und veranschaulicht ihn durch Beispiele.