Umkehrung eines Satzes der Variationsrechnung. (Q1441608)

Es wird folgende Umkehrung eines Satzes von \textit{Haar} bewiesen: Es seien \(u(x,y)\) und \(v(x,y)\) in einem einfach zusammenhängenden Bereich \(G\) meßbare und beschränkte Funktionen, und es sei \[ \int_C udx-vdy=0 \] längs jeder geschlossenen Kurve \(C\) aus \(G\). Dann gilt für jede am Rande von \(G\) verschwindende, einer \textit{Lipschitz}schen Bedingung genügende Funktion \(\xi(x,y)\) die Beziehung \[ \iint_G \left[ u \frac{\partial \xi}{\partial y}+ v \frac{\partial \xi}{\partial x} \right] dx\,dy=0. \] Mit Hilfe dieses Satzes werden gewisse \textit{Haar}sche Eindeutigkeitssätze regulärer Variationsprobleme in der Richtung verallgemeinert, daß\ als Grundbereiche beliebige beschränkte Gebiete angenommen werden dürfen.