Invarianten der Integranden vielfacher Integrale in der Variationsrechnung. I, II. (Q1441611)

Verf. gelangt bei \textit{vielfachen} Integralen zu Ergebnissen entsprechend denen, die \textit{Underhill} (1908; F. d. M. 39, 437 (JFM 39.0437.*)-438) bei der ersten und zweiten Variation einfacher Integrale erhalten hat. Nach einer Erörterung der für die Variation vielfacher Integrale in Betracht kommenden, auf analytische Punkt- und Parametertransformationen bezüglichen invariantentheoretischen Begriffe und Operationen werden diese angewandt auf Integrale der Form \[ J=\int F(x_i,x_{i,\alpha})du_1du_2 \dots du_n \] \[ \left( i=1,2,\dots,n+1;\;\alpha=1,2\dots,n;\;x_{i,\alpha}=\frac{\partial x_i}{\partial u_\alpha} \right) \] und dabei die Beziehungen zum einschlägigen Schrifttum, insbesondere zu den Arbeiten von \textit{De Donder} (1912; F. d. M. 43, 472 (JFM 43.0472.*)) hergestellt. Bei der ersten Variation von \(J\), mit der sich Verf. schon in früheren Arbeiten beschäftigt hat, behandelt er die Invarianz der Transversalität, der \(E\)-Funktion, der Gegenstücke der \textit{Weierstraß}schen Funktionen \(T\) und \(F_1\). Er weist ferner auf die Maßbestimmung hin, die im \(R_{n+1}\) entsteht, wenn man \(J\) darin als Inhaltsmaß\ eines Überflächenstückes ansieht. Die Ausführungen über die zweite Variation bilden den Hauptteil der Arbeit. Der Verfasser bringt \(\delta^2F\) auf eine solche Gestalt, wie sie bei einfachen Integralen durch \textit{Underhills} Verallgemeinerung der \textit{Weierstraß}schen Transformation zustandekommt. Sodann ermittelt er Invarianten, die mit der zweiten Variation zusammenhängen. Im letzten Teil wird ein Ergebnis verallgemeinert, das \textit{Fujiwara} (1911; F. d. M. 42, 407-408) im Falle \(n=2\) für eine fest berandete Extremale gewonnen hat: Eine invariante quadratische Differentialform benutzend, zerlegt Verf. bei einer beliebigen Oberfläche die Größ\ e \(\delta^2I\) in parameterinvariante Summanden.