The inverse problem of the calculus of variations in higher space. (Q1441615)

Die kennzeichnende Bedingung dafür, daß\ die Gleichungen \[ H(x,y,z,y',z',y'',z'')=0,\;K(x,y,z,y',z',y'',z'')=0 \;\left('=\frac{d}{dx} \right) \] die \textit{Euler}schen Gleichungen eines Integrals \(I=\int f(x,y,z,y',z')\) sind, besteht darin, daß\ die beiden Variationsgleichungen, deren erste \[ H_yu+H_zv+H_{y'}u'+H_{z'}v'+H_{y''}u''+H_{z''}v''=0 \] ist, ein selbstadjungiertes System bilden. Allgemein sind für die Selbstadjungiertheit eines Systems von Differentialausdrücken \[ D_i(u)=A_{ik}(x)u_k+B_{ik}(x)u_k' +C_{ik}(x)u_k'' \;(i,k=1,\dots,n) \] die Beziehungen kennzeichnend \[ C_{ik}=C_{ki},\;B_{ik}+B_{ki}=2C_{ik}',\;A_{ik}=A_{ki}-B_{ki}'+C_{ki}''. \] In unserm Falle haben danach die Größen \(H,K\) die Gestalt \[ \begin{aligned} H&=M(x,y,z,y',z')+P(x,y,z,y',z')y'' +Q(x,y,z,y',z')z'',\\ K&=N(x,y,z,y',z')+Q(x,y,z,y',z')y'' +R(x,y,z,y',z')z'',\end{aligned} \] wo \(M, N, P, Q, R\) partiellen Differentialgleichungen unterworfen sind. Den \textit{Euler}schen Gleichungen \(H=0\), \(K=0\) gehört die Grundfunktion \[ f=g(x,y,z,y',z')+a(x,y,z)+b(x,y,z)y' +c(x,y,z)z'+\frac{d}{dx} t(x,y,z) \] zu \(g\) bestimmt sich aus den Werten von \(g_{y'y'},g_{y'z'},g_{z'z'}\); \(a,b,c\) erhält man aus denjenigen von \(c_y-b_z,a_z-c_x,b_x-a_y\); \(t\) ist willkürlich. Damit gegebene Kurven \[ y=Y(x,a,b,c,d),\quad z=Z(x,a,b,c,d) \] Lösungen der Differentialgleichungen \[ y''=F(x,y,z,y',z'),\;z''=G(x,y,z,y',z'), \] die Gesamtheit der Extremalen von \(I\) darstellen, muß\ es solche Multiplikatoren \(P,Q,R\) geben, daß\ die Gleichungen \[ H=P(y''-F)+Q(z''-G)=0, \;K=Q(y''-F)+R(z''-G)=0 \] Variationsgleichungen besitzen, die längs jedes Bogens \(y=Y,z=Z\) selbstadjungiert sind. Verf. gibt kennzeichnende Bedingungen für das Vorhandensein solcher Multiplikatoren an. - Zum Schlusse ermittelt er die besonderen Grundfunktionen, deren Extremalen sind: Gerade Linien; Halbkreise senkrecht zur \((x,y)\)-Ebene; Kettenlinien senkrecht zur \((z,y)\)-Ebene.