Konvergenz und Fehlerschätzung beim Ritzschen Verfahren. (Q1441625)

Die Randwertaufgaben linearer partieller Differentialgleichungen sind deutbar als Fragen nach der Extremale \(u\) eines gewissen Kleinstausdruckes \(D(u)\). \textit{Ritz} bildet zur Ermittelung von \(u\) Näherungslösungen der Klasse \(K_n\), d. h. von der Form \[ v_n(x,y)=q_0(x,y)+\sum_\varrho^{1,n}c_\varrho q_\varrho(x,y), \] die dem Ausdruck \(D(v_n)\) einen Kleinstwert erteilen. Es fehlte bisher an der Untersuchung der Konvergenz der \(v_n\) gegen die -- hier als vorhanden vorausgesetzte -- Lösung \(u\) und an der Abschätzung des Fehlers. An \textit{Maxwell}sche Gedanken über Kleinszwertsaufgaben mit endlich vielen Parametern anknüpfend, füllt Verf. diese Lücke wie folgt aus: Er stellt mit Hilfe der Kleinstwerte abgeänderter, sogenannter Nebenaufgaben \[ ({\mathfrak N})\quad N(\varepsilon)=D(v)+\varepsilon v(\xi,\eta)=\text{min.} \] den Wert von \(u\) in der Form dar: \[ (1)\quad u(\xi,\eta)=\frac 12[N(+1)-N(-1)]. \] \(\mathfrak N\) ist z. B. lösbar bei der Aufgabe \(\Delta \Delta u=0\) mit den Randbedingungen \[ u=f(s),\;\frac{\partial u}{\partial \nu}=g(s); \] es ist \(n=u-\varepsilon G\), wo \(G\) die zum singulären Punkte \(\mathfrak N\) gehörige, dort aber endliche \textit{Green}sche Funktion bedeutet. Jetzt ergibt sich die Konvergenz \(v_n \to u\). Sind nämlich \(N_n(\varepsilon)\) die Kleinstwerte der \(\mathfrak N\) in \(K_n\), so ist \[ v_n(\xi,\eta)=\frac 12[N_n(+1)-N_n(-1)]; \] aus \(\lim N_n=N\) und aus (1) folgt \(\lim v_n=u\). Bei der Gleichung \(\Delta u=0\) stöß\ t man auf die Schwierigkeit, daß\ \(\mathfrak N\) nicht lösbar ist weil \(G\) in \((\xi,\eta)\) unendlich wird. Verf. schafft einen Ausweg durch den Nachweis der Konvergenz des über ein beliebiges Kurvenstück \(C\) erstreckten Integrals \(\int_C v_n ds\) gegen \(\int_C uds\). Zur Fehlerbeurteilung ist eine Abschätzung der Kleinstwerte nötig. Die \(v_n\) liefern zu groß\ e Kleinstwerte \(D(v_n)\); zu kleine \(D(w_n)\) erhält man nach \textit{Courant} durch Milderung der Randbedingungen. Diese wählt man so, daß\ \(\mathfrak N\) strenge lösbar wird, z. B. (statt \(u=f(s)\)) in der Gestalt \[ ({\mathfrak R})\quad \int[w_n-f(s)] g_\varrho(s)ds=0 \;(\varrho=1,2,\dots,n); \] sind die \(g_\varrho(s)=\frac{\partial p_\varrho(x,y)}{\partial \nu}\) Normalableitungen von Potentialfunktionen, so ist die Lösung \[ w_n=c_0+\sum_\varrho^{1,n} \lambda_\varrho p_\varrho, \] wo die \(\lambda_\varrho\) durch \(\mathfrak R\) bestimmt sind und \(c_0\) durch die Forderung, daß\ der Mittelwert des Randfehlers verschwindet. Dann wird \(D(w)\leqq D(u)\). Bei gemischten Randwertaufgaben kann es notwendig werden, für die gemilderten Lösungen \(w\) auf einem Teile des Bandes die ursprünglichen Grenzbedingungen beizubehalten; das ist aber nur in besonderen Fällen auf einfache Weise möglich. (IV 13, IV 14.)