Über die Poissonsche Verteilung und die Entwicklung willkürlicher Verteilungen. (Q1441719)

Handelt es sich bei seltenen Ereignissen nicht um einfache Alternativen, sondern um beliebige Verteilungen, bei denen ein Einzelversuch \((m+1)\) verschiedene Ergebnisse haben kann, so läß\ t sich der \textit{Poisson}sche Ausdruck \[ \psi(a,n)=\frac{a^n}{n!}e^{-a} \] nicht nach Art des \textit{Gauß-Laplace}schen verallgemeinern. Z. B. ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einmaliger Ziehung aus \(n\) Urnen mit je \((m+1)\) verschiedenen \(0,1,\dots\) \(n\)-wertigen Lesen die Summe \(x\) zu ziehen, wenn \(n\) unbegrenzt wächst und gleichzeitig die obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, aus irgend einer der Urnen eine positive Zahl zu ziehen, wie \(\frac 1n\) abnimmt, durch die Formel \[ w(x)=\lim_{n \to \infty} w_n(x)=\sum \psi(a_1,n_1) \dots \psi(a_m,n_m) \] gegeben, wobei die Summe über alle die Kombinationen der \(n_1,\dots,n_m\) zu erstrecken ist, für welche \[ \sum_{\mu=1}^m \mu n_\mu=x \] ist, wenn \(a_r\) die Wahrscheinlichkeit ist, überhaupt ein mit \(r\) bezeichnetes Los zu ziehen. ``Man kann also mit seltenen Ereignissen so rechnen, als ob \(m\) unabhängige Alternativen zwischen je einem von ihnen und dem nicht seltenen Ausgang vorlägen.'' Sind weiter etwa \(k + 1\) häufige und \(m-k=j\) seltene Losarten vorhanden, so erscheint im Limes ``ein Produkt aus \(j\) eindimensionalen \textit{Poisson}schen Funktionen in eine \(k\)-dimensionale \textit{Gauß}sche Funktion. Die seltenen Ereignisse sind im Limes voneinander, wie auch von den nicht seltenen Ereignissen unabhängig; die Ereignisse großer Wahrscheinlichkeit sind untereinander gekoppelt und verhalten sich so, als ob die übrigen kleinen Möglichkeiten gar nicht vorhanden wären.'' Noch eine zweite Frage wird in der Arbeit behandelt. Wie in der Kollektivmaßlehre willkürliche Verteilungsfunktionen in Reihen entwickelt werden, die mit \(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt \pi} e^{-x^2}\) beginnen und nach den Ableitungen von \(\varphi\) fortschreiten, so werden hier entsprechende Formeln aufgestellt, die mit \(\psi(x)\) beginnen, und die nach sukzessiven Differenzen \(\psi_m(x)\) von \(\psi(x)\), für die die Orthogonalitätsbedingungen \[ \sum_{x=0}^\infty \psi_m(x)\cdot \psi_n(x) \frac{1}{\psi_0(x)} = \begin{cases} 0 \;\text{für} \;m \neq 0 \\ n!/a^n \;\text{für} \;m=n \end{cases} \] gelten, fortschreiten. Es ist das die im üblichen Sinn beste Approximation der Verteilungsfunktion durch eine endliche \(\psi\)-Reihe. Die für die rechnerische Durchführung. nötigen Formeln werden zusammengestellt. Diese Entwicklung einer arithmetischen Verteilung \(v(x)\) konvergiert gleichmäßig gegen \(v(x)\), wenn die Momente \[ m_r=\sum_{x=0}^\infty(a+x)^\nu v(x) \] der Bedingung \(\root r\of{m_r}<\frac ae \log r'\), wo \(r' \log r'=r\) ist, genügen. ``Schließlich wird gezeigt, wie sich die Faltung oder Summenbildung aus \(n\) Verteilungen in den \(\psi\)-Reihen darstellt, und dabei auf den charakteristischen Unterschied hingewiesen, der gegen den Fall der \(\varphi\)-Reihen besteht und der bewirkt, daß\ an Stelle der ursprünglichen \textit{Poisson}schen Formel bei der Faltung beliebiger arithmetischer Verteilungen unsere allgemeinere Formel tritt.''