Sur l'hypothèse de l'additivité des erreurs partielles. (Q1441741)

Verf. kritisiert die Meinung, daß\ es möglich wäre, einen mathematisch exakten ``Beweis'' für ein allgemein gültiges Fehlergesetz zu geben. Die üblichen Ableitungen des Fehlergesetzes von \textit{Gauß\ } beruhen auf verschiedenen Hypothesen. Von besonderer Wichtigkeit ist die Hypothese der Additiveigenschaft der Partialfehler (oder Elementarfehler). Damit ist folgendes gemeint: Da es viele verschiedene Ursachen gibt, welche Fehler bei den Messungen hervorrufen, möge jede dieser Ursachen einen kleinen Partialfehler hervorbringen. Der wirklich entstehende experimentell festgestellte Fehler soll nun gleich der Summe der Elementarfehler sein. In einer leicht verständlichen Formel hat man dann, wenn \(n\) die Anzahl der Partialfehler ist, \[ \varepsilon=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\cdots +\varepsilon_n. \] Macht man noch die Hypothese, daß\ die Partialfehler selbst gewissen allgemeinen Wahrscheinlichkeitsgesetzen folgen, so kommt man schließlich zum \textit{Laplace}schen Integral \[ \frac{h}{\sqrt \pi} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{h^2u^2}{2}} du. \] Man rechtfertigt die Hypothese der Additiveigenschaft in der üblichen Weise durch die Erklärung, daß\ die Partialfehler klein sind, so daß\ ihre zweiten und höheren Potenzen vernachlässigt werden können. Diese Rechtfertigung ist aber nicht immer zutreffend Verf. gibt ein Beispiel, in dem der wirkliche Fehler nicht gleich der Summe der Partialfehler gesetzt werden darf, wie klein auch die letzteren sein mögen. Allgemeiner ist der Ansatz \[ \varepsilon={\mathfrak M}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots \varepsilon_n), \] wo über die Funktion \(\mathfrak M\) noch verfügt werden kann. Nimmt man z. B. für \({\mathfrak M}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n)\) das Maximum der Partialfehler \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n\), so gelangt man statt zu \(\frac{h}{\sqrt \pi} e^{-\frac{h^2x^2}{2}}\) zu der Funktion \(2^{A^\alpha x^{-\alpha}}\) in der Arbeit gezeigt wird. Verf. bemerkt schließlich, daß\ die üblichen Ableitungen von Fehlergesetzen offenbar unzureichend sind, und empfiehlt, erstens das experimentelle Studium der Fehlergesetze wiederaufzunehmen, und zweitens, nicht nur das \textit{Gauß}sche, sondern auch andere Fehlergesetze mit den Ergebnissen der Erfahrung zu vergleichen.