On a distribution yielding the error functions of several well known statistics. (Q1441746)

Verf. gibt eine Verallgemeinerung des \textit{Pearson}schen Koeffizienten \(x^2\), der die Güte einer Approximation charakterisiert, und dessen Verteilung in bezug auf Stichproben von \textit{Pearson} bestimmt wird. Die Verallgemeinerung, die sowohl die \textit{Pearson}sche, wie die normale, wie die von ``Student'' 1908 gegebene Verteilung umfaßt, läß\ t sich so einführen: Es seien \(s_1^2\) und \(s_2^2\) die Streuungen in zwei (kleinen) Stichproben von \(n_1\) bzw. \(n_2\) Elementen, \(\sigma_1^2\) und \(\sigma_2^2\) ihre ``wahren'' Streuungen, \(\sum(x^2)=S\) die Quadratsumme der Werte. Unter der Annahme, daß\ die Abweichungen von \(s\) von der ``wahren'' Streuung \(\sigma\) proportional \(n\) ist, gibt die Größe \[ e^{2x}=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \cdot \frac{n_2S_1}{n_1S_2} \] eine Verteilung an, die im wesentlichen von der Größ\ e der Stichproben abhängt. Für \(n_2=\infty\) ergibt sich der \textit{Pearson}sche Koeffizient \[ e^{2x}=\frac{X^2}{n} \;(n_1=n) \;\text{oder}\;z=\frac 12 \log \frac{X^2}{n}. \] Für \(n_1=1\) erhält man die Verteilung von ``\textit{Student}'': \[ z=\frac 12 \log t^2; \;t=\frac{x \sqrt n}{\sqrt 5},\;n_2=n. \] Für \(n_1=1,n_2=\infty\) ergibt sich die normale Verteilung \[ z=\frac 12 \log x^2. \] Verf. gibt einen Überblick über den Anwendungsbereich. Vgl. hierzu das Buch des Verf; Statistical methods for research workers, 1925; F. d. M. 51.