Zur Axiomatik der Geometrie. I: Über Hilberts Vollständigkeitsaxiom. (Q1441917)

Verf. zeigt zunächst, daß\ man das \textit{Hilbert}sche Vollständigkeitsaxiom dadurch verschärfen kann, daß\ man nur die Vollständigkeit der Punkte (nicht auch die der Geraden und Ebenen) fordert. Da man somit nur die lineare Vollständigkeit zu fordern braucht, und da die Winkelgeometrie auf diese ohne Einfluß\ ist, so kann man.das Vollständigkeitsaxiom weiter noch so verschärfen: Die Menge der auf einer beliebigen Geraden gelegenen Punkte ist nicht erweiterungsfähig, wenn die Axiome I (Verknüpfung), II (Anordnung), III 1-3 (lineare Kongruenz) und V 1 (Archimedisches Axiom) erfüllt sind. Ferner wird ausgeführt, daß\ man das Vollständigkeitsaxiom vor das Parallelenaxiom der euklidischen oder hyperbolischen Geometrie setzen kann. Die Reihenfolge der Axiomengruppen würde dann die folgende sein: I (Verknüpfung), II (Anordnung), III (Kongruenz), IV (Stetigkeit), V (Parallelelenaxiom). Dabei sind als Stetigkeitsaxiome das Archimedische Axiom sowie das \textit{Cantor}sche Stetigkeitsaxiom (oder das Axiom vom \textit{Dedekind}schen Schnitt) zu wählen. Von dem Axiomensystem I, II, III, IV der absoluten Geometrie wird nun gezeigt, daß\ es zwar vollständig im Sinne des Vollständigkeitsaxioms, aber nicht monomorph ist, und daß\ es erst durch Hinzufügung des (euklidischen oder hyperbolischen) Parallelenaxioms monomorph wird. Dabei heiß\ t ein Axiomensystem monomorph, wenn es nur noch isomorphe Deutungen zuläßt.