Über die Symmetrie in den Zusammenhangszahlen kombinatorischer Mannigfaltigkeiten. (Q1441939)

Die Beweise der \textit{Poincaré}schen Symmetrie- oder Dualitätssätze für die Zusammenhangs-(\textit{Betti}schen und Torsions-)Zahlen machen erhebliche Schwierigkeiten, die darin liegen, daß\ der \textit{Poicaré}sche Begriff der ``Mannigfaltigkeit'' nicht rein kombinatorisch ist, da in ihn der topologische, aber vorläufig nicht kombinatorisch zu fassende, Begriff der ``Sphäre'' eingeht. In der vorliegenden Arbeit wird auf rein kombinatorischem Wege ein Mannigfaltigkeitsbegriff definiert, der für den Symmetriesatz den natürlichen Geltungsbereich zu liefern scheint und der weiter ist als der \textit{Poicaré}sche. Er wird rekursiv folgendermßen eingeführt: ``Eine \(n\)dimensionale \(h\)-Mannigfaltigkeit ist ein Komplex, in dem der Umgebungskomplex jeder Ecke eine \((n-1)\)-dimensionale \(h\)-Sphäre ist. Die nulldimensionale \(h\)Sphäre ist das Punktepaar; eine \(n\)-dimensionale \(h\)-Sphäre ist eine (orientierte) \(h\)-Mannigfaltigkeit mit denselben Zusammenhangszahlen wie die \(n\)-dimensionale Sphäre.''